7. Функциональное мышление и Декарт

Таким образом, Декарту нельзя ставить в заслугу арифметизацию геометрии, ио можно сказать, что в своем исчислении отрезков он встал на промежуточную тоіи<у зрения. Аналогично обстоит дело с вопросом об идее функции у Декарта.

Мы тесно связываем аналитическую геометрию с понятием функ-ции.

Само слово "функция" употребил впервые Лейбниц (1694) в смысле некоторого отрезка, связанного с точкой кривой, как абсцисса, ордината, радиус кривизны и т.д.

Это геометрически конструктивное понятие о функции вскоре эво-люционировало в аналитически конструктивное понятие Ив. Бернулли и особенно Эйлера, при котором функция отождествляется с выражением при помощи аналитической формулы, В дальнейшем динамическое и конструктивное понятия функции сливаются. При этом функциональное мышление со всею определенностью выступает только у Эйлера.

Но и здесь Декарт занимает некоторое промежуточное положение и делает важный шаг вперед в развитии к функциональному мышлению. Во-первых, он определяет кривые форономически, заставляя двигаться точку по кривой или саму кривую по определенному закону. Это еще не функциональное мышление, но это первый шаг к динамическому понятию функции Ньютона - флюэиты. Переход от форономической точки зрения, рассматривающей изменение величины вне времени, к кинематической, связывающей это изменение со временем, и подводит к понятию флгоэит.

Во-вторых, Декарт мыслит актуально бесконечное множество всех точек, которые как некое целое несет кривая; он обнимает мыслью все положения, которые занимает движущаяся точка, и в каждом положении^ мыслит одну и ту же зависимость между х и у. Однако до понятия функции в смысле табличного соответствия между множествами, которое выступает уже в геометрически конструктивном понятии функции Лейбница, Декарт не доходит; он мыслит бесконечное множество пар (х, у), но не пару двух множеств хну в отдельности.

Анализ сочинений последователей Декарта укрепляет меня в высказанном мнении. Я повторяю, что ордината у сперва вовсе не мыслится как изменяющаяся вместе с х, но рассматривается основное простейшее движение, і® гда угол MPQ движется так, что PQ скользит по Ох, а точка М движется определенным образом по РМ. Де Витт называет ОР интервалом (фиг. 6), РМ - образующей линией12. Величина отрезка РМ определяется тем, что щи всяком положении М задается некоторое его свойство, которое характеризуется чисто геометрически. Из этого свойства и выводится в алгебраической форме некоторая зависимость между РМ и ОР. Аналогичная терминология сохраняется Виттом и для других прямых, участвующих в образовании кривой.

При этом то, что мы называем началом координат О, всегда является характерной точкой кривой. Директриса (по-иашему ось Оу) есть пряміш, проходящая через О и тоже характерная для образуемой при движе-нии кривой.

Следует отметить, что форономическая форма выражения не изгоняется из аналитической геометрии даже много позднее. Такую форономи- ческую форму выражения можно найти, например, у Девелея'3.

Именно-потому, что подход Декарта был форономи- ческим, а не функциональным, задержалось и развитие пространственной аналитической геометрии. Координаты точки па кривой мыслились как изменяющиеся в зависимости от некоего параметра. Но подобное образование поверхности было фиг- 6.

невозможно, так как она не описывается точкой. Уравнение поверхности могло появиться только с выявлением конструктивно-динамической функции от двух переменных, что следует отнести только к Клсро14.