8. Координатный принцип

Мы уже отметили, что ни Декарт, ни Ферма не имели понятия о координатах в нашем понимании и таким образом использовали ие оба основных принципа, мной указанные, а только второй: определяемость кривой уравнением.

Величины, которыми характеризуют положение некоторых объектов A,B,C,D...

В настоящее время координаты считают наиболее существенным элементом аналитической геометрии. Тодгентер даже заменил обычный термин "аналитическая геометрия" другим - "координатная геометрия'"5. Но так обстоит дело только в настоящее время, а в прошлом было по-ино-

му. Коордииатпый принцип устанавливает соответствие между точками плоскости и парами чисел. Затем геометры идут гораздо дальше, устанавливая соответствие между прямыми плоскости и координатами ее, а затем между точками (или прямыми) одной плоскости и точками (или прямыми) другой. Начинают мыслить две плоскости как состояние одной, изменяющейся плоскости, как преобразование плоскости при некоторых инвариантах. Но все это относится к недавнему прошлому. В более отдаленном прошлом абстрактной идеи соответствия совсем не было.

О

Фиг. 7.

Понятие о координате в нашем смысле появилось очень поздно. У всех авторов до Эйлера величины (х, у) в уравнении, определяющем кривую, вовсе ие суть величины, определяющие положение тошен на плоскости относительно некоторых осей Ох и Оу. Это только характерные линии на самой кривой. Решая упомянутую выше задачу Паппа, Декарт начинает с установления зависимости между некоторыми отрезками х=АВ и у=ВС. Мы назовем эту зависимость уравнением геометрического места, считая х л у за координаты точки кривой. Но для Декарта х и у не являются координатами в нашем смысле. Он нигде не говорит об определении положения точки на плоскости ни этими, ни какими-либо другими величинами.

понятие, которое мы обозначаем термином "декартовы координаты". Отрезки MP и MQ здесь проводятся не параллельно Ох и Оу под одним и тем же утлом (фиг. 7), и лишь в частных случаях х, у оказываются нашими прямоугольными декартовыми координатами.

О

Даже у Эйлера нет полного совпадения с нашим подходом

к понятию координаты. Но, в отличие от своих предшественников, Эйлер дает общие формулы преобразования координат, причем с целью преобразования кривой, а не всей плоскости. Несомненно, что именно эти формулы должны были сыграть роль при выявлении понятия координаты в современном смысле.

Величины (х, у) обращаются в координаты на плоскости, с одной стороны, под влиянием начертательной геометрии, созданной Монжем, с другой стороны, под влиянием картографии, которой занимался Эйлер.

Эмбрион идеи координаты приходится искать еще задолго до Мон- жа. Уже Дюрер16 пользуется координатами точек на плоскости картины, протягивая нить от глаза к изображаемой им точке предмета; он определяет координаты точки пересечения ее с плоскостью картины, которой является плоскость рамы, где натягиваются две нити, параллельные ее краям, и, передвигая их, определяет расстояние от краев рамы. Но едва ли молено уловить в работе Декарта влияние этих дюреровских идей. У Декарта играют роль те основные величины Аполлония, соотношение между которы-ми дает характерное свойство кривой.

Другой источник понятия о координате лежит в картографии, причем именно здесь можно довольно далеко проследить понятие координаты. Как это часто случается в истории науки, сперва выступает более сложный случай, а затем делается переход к более простому. Птоломей, определяя положение точки на сфере некоторыми координатами, дает вместе с тем первое понятие о преобразовании, правда, не плоскости в плоскость, а сферы в плоскость, что приводит затем к понятию о координатах на плоскости. Но в античное время и во время Декарта эти идеи не получили развития, ибо отсутствовала идея соответствия и преобразования.

На первый взгляд кажется, что рассмотрение (х, у) как координат на плоскости мало вносит в геометрию Декарта. Но если вдуматься, то обнаружится, что только при наличии этого понятия становится возможным метод преобразования координат кие общий метод.

Можно, пожалуй, (х, у) у Декарта, Ферма и Лопиталя назвать координатами на кривой как величины, определяющие положение точки не на плоскости, а на определенной кривой. Преобразование же координат мы

теперь совершаем при помощи формул, связующих (х, у) с (х', у') для любой точки плоскости.

Аналитическая геометрия Био17 начинается с определения абсцисс и ординат почти в современном смысле. Но даже здесь следует прибавить "почти", так как в определении говорится не об абсциссе и ординате, определяющих точку, но об абсциссах и ординатах точек кривой. Отметим, что и у Клюгеля15 координаты определяются только в отношении к графику.