§16. Психология математических ошибок.
Исследование конструкции математического мышления приводит нас естественно к вопросу о психологических причинах математических ошибок.
Вопрос о заблуждениях очень стар, если заблуждения рассматривать с логической точки зрения.
В этом смысле он рассматривался еще Аристотелем. Первое же психологическое исследование может быть отнесено только к Бэкону, которому принадлежит известное учение об идолах (обманчивых признаках истины, иллюзиях). Но ясно, что все классифицированные Бэконом заблуждения могут касаться только неточного мышления, когда нет еще речи о доказательствах. Все эти заблуждения если и могут иметь место при процессе подыскивания предварительных гипотез, то во всяком случае, окончательно фильтруются производимой затем проверкой и влияние аффектов, даже высших интеллектуальных типов, сводится к нулю.Математические ошибки суть не что иное, как погрешности памяти или внимания.
Чтобы понять это, возьмем простейший пример. Проанализируем, в чем состоит ошибка при вычислении, например, при сложении нескольких многозначных чисел.
Желая слолсить три числа
53890987
34567848
55166239
мы складываем сперва в уме 7+8+9 и фиксируем в памяти вторую цифру полученного числа 24. Затем складываем 8+4+3=15, прикладываем к нему вторую цифру фиксированного первого числа - 2.
Далее ход мысли следующий: 15+2=17, единица фиксируется, складываем 9+8+2=19, 19+1=20 и так далее.
Когда мы дойдем до сложения седьмого столбца, т.е. цифр 3,4, 5 у нас в памяти будут следующие цифры: от первого сложения 2, от второго 1, от третьего 2, от четвертого 1, от пятого 2, от шестого 1. Бесспорно, что при производстве действий интенсивность нашего внимания сильно колеблется, а вследствие этого колеблется и сила, с которой запоминаются упомянутые выше числа, и они вспоминаются с различной степенью легкости. При быстром вычислении импульс воли для вызова в памяти желаемой цифры ничтожно мал, участие воли можно сравнить с рукой, которая отклоняет на секунду упругий стержень, чтобы этот последний сам собой принял первоначальное свое положение.
Фиксируя цифру 1 при 6-м сложении, мы на секунду отвлекаем внимание, чтобы написать цифру 6, когда же мы перестаем думать о ней, единица сразу всплывает в нашей памяти.Такой акт вполне аналогичен следующему: мы смотрим в окно, затем отвлекаем наше внимание, смотрим, например, на лежащую перед нами книгу, затем закрываем глаза - перед нами восстает без усилия воли образ окна. Если теперь при падении внимания цифра 1 недостаточно фик-сировалась памятью, она уже не может восстановиться. Тогда в сознание проникают другие цифры, более резкие отпечатки результатов других, только что сделанных вычислений при более интенсивном внимании. Обыкно-венно одна из таких цифр, а именно та, которая является первой, т.е. та, которая резче сохранилась памятью, и принимается за искомую.
Подобного же рода ошибка, хотя более редко, может быть при сложении цифр одного столбца без перехода к следующему. По сложении 7 с 8 запоминается число 15, для прочтения 9 употребляется краткий промежуток времени, в который 15 может забыться.
Помимо этой попэешности элементарной памяти, т.е. памяти, связующей элементарные звенья мыслительного процесса, возможна еще погрешность удерживающей памяти. Мы можем недостаточно хорошо вспомнить в краткий промежуток времени, употребленный на вычисление, тот пункт таблицы слолсения или умнолсеиия, который нам необходим. Подобная ошибка, невозможная в спокойном состоянии достаточно опытного в вычислениях ума, не представляется невозможной, когда при быстром вычислении сознание постоянно наполняется различными мыслями. Среди массы незнакомых лиц можно легко не узнать и хорошо знакомого, как это часто с нами случается на улице. В сущности, все то, что мы сказали об ошибке в сложении, дает полную схему весьма общего типа математических ошибок. Вот в общем виде эта схема:
Объекту А приписывается признак а, означили это положение через (А, а). Внимание отвлекается от А к В, затем возвращается: к А, причем припоминается (А, а), затем В приписывается признак р, отвлекаются от В к С, вспоминают (В, PJ.
Ошибка состоит в том, что вместо (В, PJ берут (В, а).Но под этот тип вполне подходят далеко не все математические ошибки. В отличие от ошибок, о которых сейчас велась речь и которые могут быть названы ошибками исчисления, ошибки, о которых мы сейчас будем говорить, моїут быть названы ошибками доказательств. Они состоят в том, что посыпка (А,- а) заменяется другой (A, ft), где |3 не приписывалось еще ни одному объекту, но по своему сходству или по смежности может легко быть смешано памятью с а. Наиболее частой и наиболее трудно избегаемой ошибкой является та, при которой [3 представляет более общий случай, чем ос. Положение (A, {3J при этом утверждается при некоторых, часто только подразумеваемых условиях. Об этом в дальнейшем ходе доказательства совершенно забывается, и положение (A, ft) берется во всей его общности.
Я говорю, что эти ошибки в математике весьма часты и трудно избегаемы, так как, если бы математик всякий раз упоминал об ограничениях, которые должны подразумеваться, он сделался бы слишком скучным и, утруждая внимание отклонениями от основной темы, мог бы проиграть в ясности. Так, математики говорят в нескольких главах о функциях, подразумевая их непрерывными, хотя об этом ограничении упоминается только на первой странице первой главы. О том, что функция принадлежит типу аналитических функций, об этом иногда и не говорят совсем, считая вполне естественным такое предположение.
Ясно, что предпринимающий дальнейшие исследования читатель может совершенно забыть об этих ограничениях, в особенности, если при-менение положений, годных только при этих ограничениях, к общему случаю, не только не приводит его ни к каким противоречиям, но и открывает новое широкое поле исследований.
К этим типам математических ошибок следует присоединить еще третий: ошибки в обозначениях.
Какой-нибудь объект А обозначается знаком а, другой В знаком в. Если между айв есть сходство, то память может спутать их и относить в к А и а к В. Причина смешения может быть в восприятии: один знак можно просто принять за другой.
Можно, например, греческую ос принять за латинское а.
В то время, как указанные выше два типа ошибок представляют ошибки памяти, ошибки последнего типа, во второй своей форме, представляют уже ошибки внимания.Мы еще укажем один тип ошибок внимания, совершенно иного
рода.
Знакомому с научными математическими мемуарами хорошо известно, что в этих мемуарах доказывается не все, ведь в противном случае и маленький мемуар вырос бы в целый том. Не доказываются мелочи, не доказываются такие утверждения, в которых каждому опытному читателю не доставляет большого труда убедится. Таким образом, некоторые звенья в цепи умозаключений пропускаются, их следует вставить уже самому читателю.
Но нам кажется, что таким же образом до известной степени поступает не только читатель, но и сам автор.
Доказательство теоремы составляется следующим образом. Сперва [набрасываются] эскизы, намечаются главные пункты, которые следует доказать. Доказываются сперва они вчерне, т.е. так, что детали пока остаются без рассмотрения, остается еще кое-что спорное, кое-что недоказанное. Только постепенно обезвреживаются всевозможные возражения и производится проверка различных второстепенных утверждений. При несколько раз производимой проверке всего построения, мы не разбираемся в некоторых выставленных нами положениях, доказательство которых нам пред-ставляется простым и обычным, мы проходим мимо них с мыслью, что здесь именно все обстоит благополучно, не воспроизводя для каждого из них всего доказательства. Случается, что даже при последней окончательной проверке мы оказываем то же пренебрежение на вид обычным и простым положениям, но таящим в себе смертельный яд и гибель для всего организма нашего построения.
Иногда к подобному пренебрежению деталями нас склоняют и другие факторы. В геометрии, например, такую роль может играть чертеж, на котором случайно пересеклись какие-нибудь две прямые, пересечение которых нам представляется очевидным в том смысле, что доказательство этого так просто и обычно, что нечего себя им утруждать.
Не такого ли рода ошибка Декарта, утверждавшего, что нормали к двум плоским кривым, именно к проекциям, линии двоякой кривизны, сами будут проекциями нормали этой кривой. Вот психология подобной ошибки:
Доказательство этого неверного положения показалось Декарту настолько же простым, насколько просто доказательство подобного положения для касательных.
Весьма вероятно, что в этом его убедило и неправильно представленное геометрическое построение.
Подобного рода ошибки могут быть и при вычислении, когда мы отбрасываем различные члены в віще упрощения. Нам кажется очевид-ным, что такое отбрасывание мало повлияет на результат, причем кажется, что доказательство этого так просто, что не стоит на нем останавливаться, а между тем это часто ведет к роковым ошибкам.