8.2.2 Вейвлет-преобразование гауссовых пиков

Следуя работе [6], где была впервые предложена идея разделения гауссовых пиков с помощью вейвлет-преобразования, рассмотрим распределение с одним гауссовым источником

(Без ограничения общности, можно положить х™ = х = 0.) Нам будут нужны вейвлет-образы гауссиана, вычисленные с различными базисными вейвлетами из семейства (3.26):

Wgn(a,b)[faauss] = J -J=9n (^-^Jfgaussitfdx.

Щ(а,Ъ)[1даи*з} = ^\a\l/2 J eMlkb)Mak)fgauSs{k)dk, (8.8)

183 где

дп{к) = \/b(ik)n ехр{-к2/2). Вместо вычисления интегралов для каждого значения п в отдельности достаточно один раз вычислить интеграл для вейвлета Морле (8.9)

g(s, к) = л/27Г exp(tks - к2/2), который можно затем использовать в качестве производящей функции, беря соответствующую производную п-го порядка по аргументу s, при s = 0. Действуя таким образом мы получим аналитические выражения для вейвлет-образов гаус- сиана по отношению к всему семейству вейвлетов дп: (8.10) (8.11)

s=0

D

Wg(s)(a,b).

W = Ш"

s=0

Подставляя выражение (8.9) вместо дп(к) в (8.8) и учтя, что фурье-образ гаус- сиана (8.7) равен

/ ?2<т2\ fgauss{k) =./Vexp f — J ,

получим выражение

(8.12)

Wfls(a, b)[fgauu] = NJ dkexp (гк(Ъ - as) - j (a2 + a2)^

exn (- ^

ЄХР \ 2(a2+a2))

Va2 + a2

для вейвлет-образа гауссиана по отношению к производящему вейвлету (8.9).