8.2 Применение вейвлетов для разделения гауссовых пиков 8.2.1 Проблема разделения близколежащих пиков в ядерных экспериментах

Одной из главных проблем, возникающих при обработке экспериментальных данных является разделение одного или нескольких полезных сигналов, проявляющихся, скажем, в виде пиков во временном или частотном представлении, на фоне шумового сигнала.

181

детекторов элементарных частиц, используемых на ускорителях. Обычно, экспериментальные пики могут быть удовлетворительно апроксимированы гаусси- аном. Это имеет место для спектральных пиков, для плотности электронных облаков в дрейфовых камерах, для гистограмм событий в детекторах элементарных частиц. Разделение близких гауссовых пиков, таким образом, является очень важной задачей обработки экспериментальных данных. Так, в электронной спектроскопии спектр энергии обычно включает несколько гауссовых пиков, во время-пролетных измерениях энергии элементарных частиц, таких как RICH, SiDC, ТРС [3] и других, близким энергиями соответствуют близкие пики сигнала детектора.

В зависимости от конкретного типа детектора, сигнал может быть двумерным (два пространственных измерения, как в детекторе RICH), или 1+1-мерным (координата + время) как, например, в детекторе ТРС. В простейшем случае мы имеем дело с гистограммой количества электронов, зарегистрированных различными каналами детектора. На рис. 8.15, взятом из работы [б], представлен спектр энергии электронов, зарегистрированных пластиковыми сцинтиллятора- ми в эксперименте NEMO. Более высокий пик на рис. 8.15 как бы заслоняет все пики меньшей амплитуды, находящиеся под ним.

(8.5)

Число возможных пиков (М) в разложении (8.5) не должно быть слишком большим, и ограничено размером гистограммы. Минимизация по отношению к набору ЗА/ параметров (Ак,(Тк,Хк) обычно выполняется с помощью стандартных программ минимизации, таких как MINUIT.

Рассмотрим основную идею, лежащую в основе применения вейвлетов к разделению гауссовых пиков. Пусть экспериментальные данные, например, гистограмма зависимости числа частиц от энергии (номера канала) fexp(x), аппрокси-

182

Прямой метод разделения пиков состоит в минимизации квадрата разности между экспериментальной гистограммой и суммой гауссианов с неопределенными параметрами

мируются с помощью суммы М гауссовых пиков. В этом случае проблема аппроксимации экспериментального распределения сводится к нахождению множества параметров (Nk,ak,xf)^=l, минимизирующих выражение

F(N, аГ) = fexp(x) - ? ехр . (8.б)

V2™k v 2Достоинство вейвлет-преобразования, если его применить к проблеме аппроксимации выражения (8.6), состоит в том, что различные анализирующие вейвлеты чувствительны к различным характеристикам распределения fexp(x). Если анализирующий вейвлет является симметричным ф(х) = ф(-х), то максимумы распределения совпадают с максимумами модуля коэффициентов вейвлет- разложения, если же вейвлет является антисимметричным ф(х) = —ф(—х), то максимумы распределения приводят к минимумам модуля коэффициентов вейвлет-разложения. Таким образом, произведя вейвлет-преобразование экспериментальных данных с различными базисными вейвлетами можно определить положения искомых пиков х™. Для применения такого метода наиболее привлекательными являются гауссовы вейвлеты (3.95), свертка которых с гауссовыми пиками ехр(—х2/2) вычисляется аналитически. Это позволяет, зная значение вейвлет коэффициентов, определить параметры Nк и ак каждого пика.