3.2 Вейвлет-преобразование случайных функций

Пусть (Јl,U,P) вероятностное пространство, X = X(t,u);t Є R,u> Є Q - случайный процесс второго порядка

где Е - математическое ожидание. Тогда, для заданного базисного вейвлета ф, удовлетворяющего условию допустимости (1.20), вейвлет-преобразование (1.12) так же будет случайной функцией:

Мы рассматриваем случай одной переменной t Є R - обобщение на многомерный случай не представляет труда.

Очевидно, что моменты случайной функции Х(и, •) однозначно определяют моменты вейвлет-коэффициентов, если потребовать сходимость интегралов

59

(3.10) Обратное утверждение не справедливо: можно подобрать более одного набора случайных функций Wa(t,u), обладающих различными корреляционными свойствами, приводящих после обратного вейвлет-преобразования (1.13) к случайным процессам с совпадающими корреляционными свойствами.

При выполнении условия (3.10), зная корреляционную функцию случайного

процесса Х(и, •)

Rx(u, v) = БX(u)X(v), u,ve R,

мы можем найти корреляционную функцию вейвлет-коэффициентов (3.9):

Rw{a,t,b,s) = EW^Wb{s) = J -=V (иг) ^xMdudv (3-п)

Вычисляя вейвлет-преобразование по каждому из аргументов и и v можно доказать приведенные ниже теоремы [90].

Теорема 3.1 Пусть случайный процесс X и базисный вейвлет ф удовлетворяют условию (3.10), и преобразование Фурье базисного вейвлета отлично от нуля Ф(А) Ф 0. Тогда процесс X слабо-стационарен (соотв., имеет слабо стационарные инкременты) если и только если его вейвлет коэффициенты Wa, Wb, для двух любых масштабов а, Ь > 0 кросс слабо-стационарны (соотв., имеют кросс слабо-стационарные инкременты).

Теорема 3.2 Пусть случайный процесс X и базисный вейвлет ф удовлетворяют условию (3.10), и преобразование Фурье базисного вейвлета отлично от нуля ф(А) ф 0. Тогда процесс X слабо Н-самоподобен (соотв. имеет слабо Н- самоподобные инкременты) если и только если его вейвлет-коэффициенты W слабо (Я + \)-самоподобны (соотв., имеют слабо (Я + -самоподобные инкременты)

Е WcaWWaics) = l+2HEWa(t)Wb(s).