3.2 Рсгуляризирующин алгоритм обработки навигационных измерений

Для нахождения навигационной оценки Ef(t*), соответствующей критерию I минимума функционала (3.2) из предыдущего раздела, сведем задачу к системе нормальных уравнений.

Общая запись системы нормальных уравнений, соответствующей критерию (3.2) для определения оптимальной оценки ?}(t*), имеет вид: ^.q^.S^-q^) фв0ч|Ф f

S = 2 6,

(3.3)

- а

= 0,

X (3.4)

EKGj.nDjL, (t,,q(t*),Se)-q®]} = 0, где Os(tj,t*) - s-ая строка матрицы частных производных Ф(^,Г), позволяющей пересчитывать вектор состояния q НКА с момента t* на момент t| .

0(tj,t*) являются частные производные 0j|(t|,t*)= dQ'^p (l,i = 1 ,...,6) компонент вектора

5qt(t )

состояния на момент времени tj по компонентам вектора состояния на момент времени f, Матрица 0(tp,t() определяет равенство, которое связывает приращение Aq/ вектора состояния q в момент t; с приращением данного вектора Aqp в tp: ct>{tp,t/) Aq; = Aqp.

выражение Ф^О^Ф^7 определяет дисперсию первой компоненты вектора ошибок

измерений Aqa) на момент времени tj, спрогнозированную на время t*;

Из решения системы уравнений (3,2.1), (3.2.2) следует выражение для оценки вектора ПДЦМ Ef(t*), которая c((t*) выражается, как сумма некоторого опорного вектора

qon = (q°n, qj", q™, q™, q§n, qgn) (первого приближения) и оценки приращения к этому

опорному вектору Aq*: 3(t*)= q°n + Aq*.

Из уравнений (3.4) компоненты 2^6 вектора Aq* выражаются через Aq} следующим образом:

|| Aqa Aqs Aq* Aqs Aqs ||T = A"1 (C - D Aq}), (3.5)

где С, D - вектора, элементы, которых вычисляются по соотношениям

А - матрица размера 5x5, элементы которой определяются по формуле akn = Sf = 1 Sm =! Ф(к +1 )т j-'СТ Йт' ^m(n +1 j o ?

Здесь кип принимают значения от I до 5. выражение для первого компонента вектора оценки приращения АС]-] записывается следующим образом:

1^(010],t*)DjДя® + а пАЦ\.т)~МА"1С

Aqi =

"4мг: 0JS>

где Aq® = q® tj, c((t*) ,Sg) - шестимерный вектор разности между измеренным вектором q® на момент времени tj (j = 1, 2, N) и спрогнозированным вектором искомой оценки Ј|(t*) на момент времени tj;

Дсц" = [i/p(t*,qa>,S6)t - Ef (t*)] - разность между первым компонентом спрогнозированного

вектора q® на t* и первым компонентом вектора оценки q (t*).

1

М - вектор-строка, элементы которой равны:

mk = Sf=, IJ =, Ф! (n+i) (tiП? о дч(п+! j o Ф(П +1 )(k +1)"j ? П.

Подробный вывод выражений (3.5) и (3.6) из системы нормальных уравнений (3.3), (3.4) дан в приложении А.

На основании выражений (3.5) и (3.6), приведенных в этом разделе, записывается регуляризирующий алгоритм для нахождения навигационной оценки cf(t*).

На точностные характеристики оценки, вычисленной в соответствии с рассмотренным алгоритмом, влияют многие факторы. Перечислим основные из этих факторов:

глубина памяти исходной навигационной информации (т. е. количество векторов навигационных измерений и соответствующий им временной интервал);

величина параметра а, который играет роль весового регуляризирующего параметра;

характеристики выбранной модели движения, в том числе, количество используемых гармоник в разложении геопотенциала Земли и точность знания параметров атмосферы, в частности, баллистического коэффициента Se.

Для анализа чувствительности вектора навигационной оценки к значению параметра регуляризации а получим выражения для определения степени влияния значений величин СКО векторов навигационных измерений на СКО первой компоненты оценки ^(t*). С этой

целью приведем другую форму записи (3.3) в которой вынесен за скобки в качестве общего

сомножителя член с целью приведения к форме удобной для вычисления

2

среднеквадратического отклонения о в:

Aq* 1 а-Фш _i

VN

Х]=1

Wj.n^ + 1~)-MA 1Sj

ф®0 Фа)

1 гцП

(3-7)

+ m ° T )-MA*1 D

где Sj - матрицы размерности 5хб (j = 1,2,..N ) имеют вид:

Ф21(*].П OaGj.n o o o ФиОрГ)

S| =

<"ei(tj.n ee(M*>

Ф^ = Фч^М.) - первая строка матрицы перехода между моментами времени tj и t*, Ф;к(^Д*)(/ = 2,...,б; к= 1,...6)- компоненты матрицы перехода между t* и tj

Ковариационная матрица ошибок векторов навигационных измерений

Aq®,

поступающая из НП в БКУ, имеет простую структуру, вида /39/:

о О О О О О

п

О о2 О О О О

п О 0 ст О О О

Dni =

, где j =1,2,N,

п

О 0 0 о2 О О

ск

О О О О ст2 О

ск 0 0 0 0 Ост2

ск

в которой по диагонали стоят квадраты среднеквадратических отклонений вектора ошибок навигационных измерений,

ст" - среднеквадратические отклонения ошибки по отдельной компоненте координаты положения вектора навигационных измерений,

оск - среднеквадратические отклонения ошибки по отдельной компоненте скорости вектора навигационных измерений.

(3.3) к тождественному выражению (3.7) осуществлена замена случайной величины Дс(®на выражение, содержащее случайный вектор в соответствии с равенством

Aq®=01(t*,tJ)Aq

На основании вышесказанного и использования формулы вычисления оценки (3.7)

2

получаем общую линейную формулу для вычисления квадрата дисперсии ст .:

ДЧ1

\2

(ЕГ-.Р®* -r)-MA"1D

ф^Ф" 0) 1А

аФ

xlb

2л=1

i)T

1 щ' 1 )

ф(|>0 ф®

(3.8)

\2

®

аФ

Ф®0-1-МА_1Ф® + 1Л

'ск

*л

и т

Ф®

1 FG 1

где введено обозначение для вектора столбца размерности 5 из частных производных:

Ми

*)

, (А = "1-5-6,j = 1,2 N);

ФР.

."Jy*)

Ф® (А=1,...,6) - обозначена первая компонента вектора

Как следует из выражения (3,8) а зависит от а нелинейно.

Ч

Последнее замечание можно использовать для анализа чувствительности компоненты вектора оценки Aqi от параметра а для различных наборов навигационных измерений и интервалов прогноза [t^, t*].