<<
>>

1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений

Изучаемые вопросы: Источники и классификация погрешности. Запись чисел в ЭВМ. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. О вычислительной погрешности. Погрешности функций.

После изучения этой темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки.

Следует различать погрешности измерений и погрешности решения задач. Первые изучаются в физике, а вторые обуславливаются несколькими причинами: неточностью модели, описывающей то или иное явление, неточностью метода решения и неточностью данных на этапе ввода их для решения, или вывода результатов округления. Поэтому говорят о неустранимых погрешностях, погрешностях метода и вычислительных погрешностях.

Если – точное значение некоторой величины, а – приближённое, то абсолютной погрешностью приближённого значения называют величину , про которую известно, что

. (1)

Относительной погрешностью приближённого значения называют величину , про которую известно, что

. (2)

Часто её выражают в процентах.

Абсолютную и относительную погрешности принято записывать в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры в форме

. (3)

Например,

Пример 1. ○Абсолютная и относительная погрешности числа .

Число – трансцендентное число, равное 3,1415926… . Приближённое значение . Граница абсолютной погрешности , или, с учётом (3), . Граница относительной погрешности .●

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 2. ○Подчёркнуты значащие цифры в следующих числах:

0,573; 24,0350; 0,0025400.●

Значащая цифра числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 3. ○Верные цифры числа подчёркнуты:

Если , то верных цифр в числе три: = 3,1415926,

если , то верных цифр в числе две: = 3,1415926,

если , то верных цифр в числе четыре: = 3,14115926. ●

Для оценки погрешности арифметических действий используют следующие правила.

Абсолютные погрешности суммы или разности не превосходят абсолютной погрешности их членов:

(4)

Относительные погрешности в этом случае

(5)

Абсолютные погрешности произведения и частного рассчитывают по формулам

и (6)

(7)

соответственно. Их относительные погрешности равны:

. (8)

В частности,

. (9)

Пример 4. Вычислить и определить погрешности результата.

, где .

○Имеем

Тогда

Относительная погрешность

Тогда абсолютная погрешность равна .

Итак, . ●

Существенную часть теории численных методов составляет построение устойчивых алгоритмов, использование которых ведёт к искажению результатов вычислений с погрешностью, находящейся в заданных пределах. В этом случае говорят о вычислительной погрешности. Например, потеря значащих цифр происходит при вычитании близких больших чисел. Если такие числа округлить с большой абсолютной погрешностью, то результат вычитания их также даст большую абсолютную погрешность. Во избежание этого такие расчёты следует проводить с двойной точностью.

Следует помнить, что предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей, а предельная относительная погрешность произведения или частного равна сумме предельных относительных погрешностей.

Подробнее об этой теме можно узнать из [7], c.17-34. Вопросы для самопроверки по теме 1.1

1. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

2. Можно ли выражать погрешность в процентах? Какую погрешность?

3. В какой форме записывают абсолютную и относительную погрешности?

4. Чему равны погрешности суммы и разности, а также произведения и частного? О каких погрешностях в данных случаях идёт речь?

<< | >>
Источник: Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко. Математика ч.2: учебно-методический комплекс / сост. Т.Д.Бессонова, Н.М.Петухова, В.В. Тарасенко - СПб.: Изд-во CЗТУ,2008. – 158 с.. 2008

Еще по теме 1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений:

  1. 2.1. Разработка методики расчета допусков при прямом контроле с учетом наработки автотранспортных средств и влияния дополнительной погрешности измерения.
  2. 3.2. Исследование влияния дополнительных погрешностей значений контролируемых параметров на величины ошибок первого и второго рода при косвенном контроле технического состояния ЛТС
  3. 1.3.2 Математическая формулировка задачи обработки навигационных измерений навигационного приемника при потере свойств целостности СРНС
  4. 3.2 Рсгуляризирующин алгоритм обработки навигационных измерений
  5. Методы оценки характеристик составляющих объекта измерения
  6. О применении статистических методов обработки результатов исследования.
  7. Обработка результатов.
  8. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  9. 2.2. Тематический план дисциплины
  10. Раздел 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
  11. 1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
  12. Содержание
  13. Глава II ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА