§9 Мультивариантные точечные процессы.

9.1. Определение. Мультивариантным точечным процессом на называется последовательность , где - марковские моменты такие, что: а); б) на множестве ; в) на множестве ; а на множестве и на множестве где - некоторая "фиктивная" точка, причём для .

По мультивариантному точечному процессу легко построить опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями. Действительно, для любого n положим

Очевидно, что таким образом построенный случайный процесс является согласованным и его траектории непрерывны справа и имеют конечный левый предел, т.

Обозначим - число попаданий мультивариантного точечного процесса в множество за время t. Очевидно, что считающий процесс, поэтому - субмартингал (относительно меры Р). Стало быть, по теореме Дуба-Мейера существует единственный предсказуемый возрастающий процесс такой, что мартингал, т. е. - компенсатор.

Определение. Пусть Е - конечное или счётное множество, причем, в этом случае мультивариантный точечный процесс будем называть k-вариантным.

9.3. Пусть , где опциональный процесс построенный по мультивариантному точечному процессу с кусочно-постоянными со значениями в Е, где Е - конечное или счетное множество. Через обозначим элементы множества Е и назовем их состояниями. Пусть - одноточечное множество, т.е. . Через обозначим число попаданий процесса за время t в состояние i. Очевидно, что: 1) , 2) , где марковские моменты такие, что .

Предложение 33. Пусть - считающий процесс. Тогда для любых и Р - п. н. справедливы представления:

1)если , то

,

где ,

2)

Доказательство. 1) Так как , то, очевидно, что P – п. н. для любых ,

.

Получившееся равенство перепишем в виде интеграла Римана-Стилтьеса, имеем P – п. н. .

Отсюда следует первое утверждение предложения.

2) Так как марковские моменты нагружают процесс , то P – п. н. для любого . Поэтому P – п. н. для любого . Следовательно, P – п. н. для любых , , имеем

Последнее равенство перепишем в виде интеграла Римана – Стилтьеса, имеем P – п. н. . Доказательство закончено.