Точечные оценки M[X], D[X] и их свойства

Утверждение 1. Точечная оценка параметра M[X], является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех линейных оценок вида:

3 Так как X_i являются независимыми СВ, закон распределения которых совпадает с законом распределения СВ X, т.е.

, т.е. несмещенность доказана.

Из следствия закона больших чисел в форме Чебышева очевидно, что при n ® ¥ или для любого e > 0 справедливо

, т.е. состоятельность оценки доказана.

Покажем, что точечная оценка является эффективной в классе всех линейных оценок вида:

Имеем Определим значения Z_i, при которых функция принимает минимальное значение при условии . Для нахождения условного экстремума составим функцию Лагранжа

,

тогда необходимые условия минимума функции Лагранжа определяет система из уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) для i = 1,2, ..., n получаем Zi = l/2. Из уравнения (2) следует l = 2/n. Тогда Zi = 1/n для i = 1,2, ..., n, что и требовалось показать. 4

Утверждение 2. Точечная оценка параметра D[X], является смещенной так как .

Утверждение 3. Точечная оценка параметра D[X], является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех квадратичных оценок вида: