Методы получения ТочечныХ оценок

Метод моментов основан на приравнивании моментов (центральных, начальных) СВ X к их выборочным оценкам. При этом число составляемых уравнений равно числу неизвестных параметров.

Пример. Пусть Х ~ R(a, b), где a и b - неизвестные параметры. Нужно найти точечные оценки A и B параметров a и b соответственно.

Согласно этому методу нужно вычислить два момента (начальный 1-го порядка и центральный 2-го порядка) СВ X: mX = (a+b)/2 и DX = (b-a)2/12 и составить два уравнения (1) и (2), приравнивая моменты (A+B)/2 и (B-A)2/12 к их соответствующим выборочным значениям и . Следовательно:

Метод максимального правдоподобия (Метод МП). Пусть получена конкретная выборка x₁, x₂, ..., x_n объема n и известен закон распределения СВ X с точностью до параметров J₁, J₂, ..., J_k. В качестве оценок неизвестных параметров J₁, J₂, ..., J_k, по этому методу принимают значения Q₁, Q₂, ..., Q_k, которые называют МП-оценками. Для их нахождения составим так называемую функцию правдоподобия:

где p_i(J₁, J₂, ..., J_k) = P{X_i = x_i} - вероятность того, что СВДТ X_i примет значение x_i; f(x; J₁, J₂, ..., J_k) - плотность распределения СВНТ X.

Для упрощения вычисления МП-оценок удобно рассматривать логарифм функции правдоподобия, т.е. ln T(x₁, x ₂, ..., x _k; J₁, J₂, ..., J_k). Свойства МП-оценок:

n оценки являются несмещенными и состоятельными;

n при больших значениях n (n > 10 ... 20) эти оценки имеют закон распределения, близкий к нормальному.

Пример. Пусть СВ X распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром l. Найти МП-оценку Q неизвестного параметра l по выборочным значения x₁, x ₂, ..., x _n.

Решение. Функция правдоподобия имеет следующий вид:

где p(x_i, l) = P{X = x_i} - вероятность того, что СВДТ X, распределенная по закону Пуассона, примет значение x_i.

Отбрасывая константу , логарифмируя функцию правдоподобия и используя необходимые условия максимума, получаем уравнение, определяющее МП-оценку Q параметра l: Отсюда следует, что

Задача 1. Пусть время до отказа изделия t подчиняется закону E_x(l), где l неизвестный параметр. По результатам испытаний образцов изделий получена выборка t₁, t₂, ..., t_п. Найти оценку параметра l, используя различные способы.