<<
>>

Методы получения ТочечныХ оценок

Метод моментов основан на приравнивании моментов (центральных, начальных) СВ X к их выборочным оценкам. При этом число составляемых уравнений равно числу неизвестных параметров.

Пример. Пусть Х ~ R(a, b), где a и b - неизвестные параметры. Нужно найти точечные оценки A и B параметров a и b соответственно.

Согласно этому методу нужно вычислить два момента (начальный 1-го порядка и центральный 2-го порядка) СВ X: mX = (a+b)/2 и DX = (b-a)2/12 и составить два уравнения (1) и (2), приравнивая моменты (A+B)/2 и (B-A)2/12 к их соответствующим выборочным значениям

и . Следовательно:

Метод максимального правдоподобия (Метод МП). Пусть получена конкретная выборка x1, x2, ..., xn объема n и известен закон распределения СВ X с точностью до параметров J1, J2, ..., Jk. В качестве оценок неизвестных параметров J1, J2, ..., Jk, по этому методу принимают значения Q1, Q2, ..., Qk, которые называют МП-оценками. Для их нахождения составим так называемую функцию правдоподобия:

где pi(J1, J2, ..., Jk) = P{Xi = xi} - вероятность того, что СВДТ Xi примет значение xi; f(x; J1, J2, ..., Jk) - плотность распределения СВНТ X.

Функция T(x1, x 2, ..., x k; J1, J2, ..., Jk) показывает, на сколько правдоподобны значения СВ X, полученные в выборке объема n при некоторых параметрах J1, J2, ..., Jk. Если J1, J2, ..., Jk - истинные значения, то, очевидно, что T(x1, x 2, ..., x k; J1, J2, ..., Jk) > T(x1, x 2, ..., x k; q1, q2, ..., qk), где q1, q2, ..., qk - значения отличные от истинных. Следовательно в качестве оценок Q1, Q2, ..., Qk неизвестных параметров выбирают такие, при которых функция правдоподобия принимает максимальное значение, т.е. T(x1, x 2, ..., x k; Q1, Q2, ..., Qk) = max. Тогда решение следующей системы из k уравнений позволяет получить оценки Q1, Q2, ..., Qk неизвестных параметров

Для упрощения вычисления МП-оценок удобно рассматривать логарифм функции правдоподобия, т.е. ln T(x1, x 2, ..., x k; J1, J2, ..., Jk). Свойства МП-оценок:

n оценки являются несмещенными и состоятельными;

n при больших значениях n (n > 10 ... 20) эти оценки имеют закон распределения, близкий к нормальному.

Пример. Пусть СВ X распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром l. Найти МП-оценку Q неизвестного параметра l по выборочным значения x1, x 2, ..., x n.

Решение. Функция правдоподобия имеет следующий вид:

где p(xi, l) = P{X = xi} - вероятность того, что СВДТ X, распределенная по закону Пуассона, примет значение xi.

Отбрасывая константу , логарифмируя функцию правдоподобия и используя необходимые условия максимума, получаем уравнение, определяющее МП-оценку Q параметра l: Отсюда следует, что

Задача 1. Пусть время до отказа изделия t подчиняется закону Ex(l), где l неизвестный параметр. По результатам испытаний образцов изделий получена выборка t1, t2, ..., tп. Найти оценку параметра l, используя различные способы.

<< | >>
Источник: Ответы по теории вероятности. 2017

Еще по теме Методы получения ТочечныХ оценок:

  1. 2.3. Разработка методики оценки характеристик достоверности прн использовании алгоритмов диагностирования с учетом методической составляющей погрешности, погрешности измерения н дополнительной погрешности.
  2. ВВЕДЕНИЕ
  3. 2.3. Управление государственным сектором и оценка егоэффективности.
  4. Ошибка прогноза
  5. ИЗБРАННЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ СУДЕБНОЙ МЕДИЦИНЫ
  6. Статистические оценки параметров распределения
  7. Психодиагностические методики, виды методик.
  8. ГЛАВА 4. ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
  9. 2.4. Дискретная динамическая модель прогнозирования количества вызовов
  10. 1.4.2. Применение стохастических игровых моделей для обеспечения информационной безопасности в ИС ССМП
  11. 9.5. Петрографический метод определения обогатимости углей
  12. 2.8. Построение квадратичной регрессионной модели по методу наименьших квадратов
  13. Методы получения ТочечныХ оценок
  14. 16.1. Совершенствование методов экологического мониторинга
  15. Оценка ареалов загрязнения снежного покрова по космическим сканерным изображениям
  16. Поляризационно-оптический анализ внутренних напряжений и структуры дислокаций
  17. ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА СБОРА ЗАРЯДА И ФОРМИРОВАНИЯ АМПЛИТУДНОГО СПЕКТРА В ДЕТЕКТОРАХ НА ОСНОВЕ CdTe, CdZnTe ПРИ ОБЛУЧЕНИИ ГАММА-КВАНТАМИ
  18. Метод коноскопии