Билет №5 Ур-е Бернули

Одно из немногих ур-ий котор м.б. проинтегрировано.

ДУ м.б. проинт. если его общ реш-е можно представить через элементар. ф-ии и операции интегрир

ДУ бернули наз ур-е вида

x=a(t)x+b(t)x^g (9)

a(t) и b(t) непр на (a,b) g-конст

если g=0 то получ ЛНДУ(не однор)

если g=1 то получ ЛОДУ (однор)

x¢/x^g=a(t)(x/x^g)+b(t);

(d/dt)(x^(1-g))=(1-g)(1/x^g)x¢

(1-g)(x¢/x^g)=(1-g)a(t)x^(1-g)+(1-g)b(t)

(d/dt)(x^(1-g))=(1-g)a(t)x^(1-g)+b(t)(1-g)

y:=x^(1-g) (10)

y¢=(1-g)a(t)y+b(t)(1-g) (11)

Для новой перем у соотв ДУ явл неоднор

Согластно ф-ле (7)

y=ce^[(1-g)((t₀,t)∫a(d)dd)]+ (t₀,t)∫e^[(1-g)((t₀,z)∫a(d)dd)dd]b(s)

x=y^(1/(1-g))

(12) x={ce^[(1-g)((t₀,t)∫a(d)dd)]+ (1-g)(t₀,t)∫e^[(1-g)((t₀,z)∫a(d)dd)dd}b(d)}

Далее для реш нач задачи из этой или (8) ф-лы

x(t)={(x₀^(1-g))e^[(1-g)(t₀,t)∫a(d)dd]+(1-g)(t₀,t)∫e^[(1-g)(z,t)∫a(d)dd]b(s)ds}^1/(1-g) (13)