5.3. Основные элементы геодезических вычислений

В ходе топогеодезических работ при обработке результатов измерений на местности углов и расстояний (результатов полевых измерений) часто приходиться сталкиваться с громоздкими и сложными вычислениями, которые состоят из отдельных элементов.

Обработку результатов измерений при выполнении топогеодезических работ производят аналитическим или графическим методом.

При аналитическом методе для вычисления используют: электронные вычислительные машины (ЭВМ), микрокалькуляторы (МК), счислитель СТМ, логарифмическую линейку.

При необходимости перевода угла, величина которого задана в делениях угломера, в градусы, эту величину умножают на 6, так как одно большое деление угломера содержит 6º. Например, необходимо перевести в градусную меру угол, равный 19-27. Для этого величину угла записываем, как 19,27. Затем умножаем ее на 6 и получаем 115,62º.

Для осуществления противоположного действия, то есть для перевода угла из градусной меры в деления угломера, его величину делят на 6. Но при этом, если угол задан в градусах, минутах и секундах, нужно предварительно последовательным делением на число 60 (столько секунд в одной минуте и столько минут в одном градусе) перевести вначале секунды в доли минут, а затем минуты с учетом полученной доли – в доли градуса.

Пример. Перевести в деления угломера значение 128°36′17′′.

Решение

1. Перевести значения секунд в доли минуты: 17′′ : 60 = 0,28′.

2. Перевести значения минут с учетом полученной доли минуты в доли градуса:

(36′ + 0,28′) : 60 = 36,28′ : 60 = 0,6°.

3. Перевести величину угла из градусной меры в деления угломера:

(128° + 0,6°) : 6 = 128,6° : 6 = 21-43.

Для перевода величины угла, заданного в делениях угломера, в градусы и минуты и обратно можно использовать таблицы приложения Д. Примеры работы с таблицами приведены в этом же приложении.

При графическом методе обработку результатов измерений производят на карте (фотоснимке с координатной сеткой) или с помощью номограммы НИХ. Порядок работы с номограммой инструментального хода дан в Инструкции по ее использованию.

Основными элементами геодезических вычислений являются:

переход от дирекционного угла одного направления к дирекционному углу другого направления, определяемого с этой же точки;

определение величины горизонтального угла по дирекционным углам направлений, составляющих этот угол;

решение прямой геодезической задачи;

решение обратной геодезической задачи;

решение треугольника по двум углам и одной стороне;

решение треугольника по двум сторонам и углу между ними;

определение превышений.

Переход от дирекционного угла одного направления к дирекционному углу другого направления, определяемого с этой же точки, осуществляется при определении на местности дирекционных углов ориентирных направлений и координат привязываемых точек, а также при выполнении графических построений и измерений на карте (планшете).

Дирекционный угол определяемого направления равен дирекционному углу известного (исходного) направления плюс горизонтальный угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки от известного направления к определяемому (рисунок 5.3а). Если полученный дирекционный угол больше 60-00 (360°), то его уменьшают на эту величину.

α2 = α1 + ß, (5.1)

где α2 – дирекционный угол определяемого направления;

α1 – дирекционный угол известного (исходного) направления;

ß – горизонтальный угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки,

от известного направления к определяемому.

Угол ß отсчитывается по ходу часовой стрелки, потому что так удобнее в связи с тем, что почти все шкалы приборов, которыми измеряются горизонтальные углы, оцифрованы по ходу часовой стрелки. По ходу часовой стрелки измеряются также и азимуты, и дирекционные углы. В дальнейшем часто угол между двумя направлениями, отсчитываемый по ходу часовой стрелки, будет обозначаться символом ß с добавлением соответствующего индекса.

Пример 1. α1 = 52°21,8′; ß = 75°15,2′.

Решение.

α2 = 52°21,8′ + 75°15,2′ = 127°37,0′.

Пример 2. α1 = 54-23; ß = 9-28

Решение.

α2 = 54-23 + 9-28 − 60-00 = 3-51.

Иногда при выполнении топогеодезических работ появляется необходимость измерять угол ß от определяемого направления. В данном случае правило для вычисления будет следующее.

Дирекционный угол определяемого направления равен дирекционному углу известного (исходного) направления минус горизонтальный угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки от определяемого направления к известному (рисунок 5.3б). Если исходный дирекционный угол меньше значения горизонтального угла, то к нему прибавляют 60-00 (360°)

α2 = α1 – ß, (5.2)

где α2 – дирекционный угол определяемого направления;

α1 – дирекционный угол известного (исходного) направления;

ß – горизонтальный угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки,

от определяемого направления к известному.

Пример 1. α1 = 127°37,0′; ß = 75°15,2′.

Решение.

α2 = 127°37,0′ – 75°15,2′ = 52°21,8′.

Пример 2. α1 = 7-34; ß = 10-57.

Решение.

α2 = 7-34 + 60-00 – 10-57 = 56-77.

Определение величины горизонтального угла по дирекционным углам направлений, составляющих этот угол, осуществляется при определении координат привязываемых точек.

Горизонтальный угол равен разности дирекционных углов правого и левого направлений, составляющих угол (рисунок 5.3а).

ß = α2 − α1, (5.3)

где ß – горизонтальный угол;

α2 – дирекционный угол правого направления;

α1 – дирекционный угол левого направления.

Если вычитаемый дирекционный угол (левого направления) больше уменьшаемого (правого направления), то к последнему прибавляют 60-00 (360°).

Пример 1. α2 = 127°37,0′; α1 = 52°21,8′.

Решение.

ß = 127°37,0′− 52°21,8′ = 75°15,2′ .

Пример 2. α2 = 27-49; α1 = 38-42.

Решение.

ß = 27-49 + 60-00 − 38-42 = 49-07 .

Решение прямой геодезической задачи сводится к нахождению прямоугольных координат привязываемой точки (ХВ, УВ) по известным прямоугольным координатам исходной точки (ХА, УА), расстоянию между ними ДАВ и дирекционному углу с исходной точки на привязываемую αАВ (рисунок 5.4).

При решении прямой геодезической задачи на карте необходимо:

нанести на карту исходную точку А по известным прямоугольным координатам;

нанести на карту привязываемую точку В по известным полярным координатам;

определить по карте координаты точки В.

Порядок нанесения точек на карту по координатам и порядок определения координат точек по карте изложен главе 2.

При аналитическом методе решения первоначально нужно определить приращения прямоугольных координат привязываемой точки ΔХ и ΔУ относительно координат исходной, а затем рассчитанные приращения прибавить к координатам исходной точки (ХА, УА). На рисунке 5.4 показан случай, когда дирекционный угол αАВ с исходной точки на указанную не превышает 15-00 (90˚), то есть находится в первой четверти. В данной ситуации оба приращения координат будут положительными. В других случаях, когда дирекционный угол будет не в первой четверти, хотя бы одно из приращений будет отрицательным.

Величины приращений координат могут быть рассчитаны с использованием величины угла румба r и расстояния ДАВ между точками. Румб – острый угол между вертикальной линией сетки карты и направлением с исходной точки на привязываемой. Из рисунка 5.5 следует, что расстояние между точками в прямоугольных треугольниках является гипотенузой, а приращения координат – катетами: ΔХ – прилежащий к румбу, а ΔУ – противолежащий к нему. Используя формулы тригонометрии, получаем:

∆Х = ДАВ ∙cos r; ∆У = ДАВ ∙sin r. (5.4)

Если используемое вычислительное средство не позволяет рассчитать величину косинуса угла, и нет таблицы косинусов, то величина косинуса определяется по формуле:

cos r = sin (15-00 – r) или cos r = sin (90° – r) (5.5)

Таблица 5.5 – Определение величины румба и знаков приращений координат

Формулы для определения величины румба, составленные с использованием рисунка, а также знаки приращений координат в зависимости от четверти, к которой принадлежит величина дирекционного угла с исходной точки на указанную сведены в таблицу 5.5.

Прямую геодезическую задачу с помощью счислителя СТМ, логарифмической линейки или таблицы синусов (приложение Е) решают в последовательности:

1.

2. Вычисляют величины приращений координат ∆Х и ∆У по формулам

∆Х = ДАВ ∙ sin(15-00 – r); ∆У = ДАВ ∙sin r. (5.6)

3. Вычисляют координаты привязываемой точки по формулам

ХВ = ХА + ∆Х; УВ = УА + ∆У. (5.7)

Пример. Определить прямоугольные координаты каменного моста (7010-7) (приложение В), если с отм.198,4 (7009) измерен на него дирекционный угол 20-13 и расстояние до него 937 м. Координаты отм.198,4: Х=70575, У=09300.

Решение

1. Так как 15-00 < 20-13 < 30-00, то r = 30-00 – 20-13 = 9-87,

а ∆Х –, ∆У + ;

2. ∆Х = 937 ∙ sin(15-00 – 9-87) = 937 ∙ sin5-13 = 937 ∙ 0,512 = – 480 м;

∆У = 937 ∙ sin 9-87 = 937 ∙ 0,859 = 805 м.

3. Х = 70575 – 480 = 70095;

У = 09300 + 805 = 10105.

При использовании ЭВМ и МК имеется возможность определять тригонометрические функции углов со своими знаками во всем диапазоне, то есть от 0 до 360˚. В данном случае нет необходимости находить величину румба, поэтому вместо него при вычислении значений приращений координат используется величина дирекционного угла с исходной точки на привязываемой αАВ. Знак приращения зависит от знаков функций синуса и косинуса. Косинус угла имеет положительное значение в диапазонах от 0 до 90˚ и от 270˚ до 360˚ (в первой и четвертой четверти). Именно в этих диапазонах в соответствии с таблицей 5.5 ∆Х имеет знак плюс. Синус является положительным для углов от 0 до 180˚, что также соответствует данным таблицы.

Прямую геодезическую задачу с помощью ЭВМ или МК решают в последовательности:

1. Вычисляют приращения координат ∆Х и ∆У со своими знаками по формулам:

∆Х = ДАВ ∙cos αАВ ; ∆У = ДАВ ∙sin αАВ. (5.8)

2. Вычисляют координаты привязываемой точки по формулам

ХВ = ХА + ∆Х; УВ = УА + ∆У.

Пример. В условиях предыдущего примера определить координаты моста, выполняя расчеты с помощью микрокалькулятора.

Решение

1. ∆Х = 937 ∙ cos20-13 = 937 ∙ cos(20-13 ∙ 6˚) = 937 ∙ cos120,78˚ =

= 937 ∙ (-0,512) = – 480 м;

∆У = 937 ∙ sin 20-13 = 937 ∙ sin(20-13 ∙ 6˚) = 937 ∙ sin120,78˚ =

= 937 ∙ 0,859 =+ 805 м.

2. Х = 70575 – 480 = 70095;

У = 09300 + 805 = 10105.

Решение обратной геодезической задачи сводится к вычислению дирекционного угла направления αАВ с одной точки (точки А) на другую (точку В) и расстояния между ними ДАВ по прямоугольным координатам данных точек (рисунок 5.4).

Как было сказано выше, расстояние между точками в прямоугольных треугольниках, образованных линией АВ и приращениями координат, является гипотенузой (рисунок 5.5), а приращения координат – катетами: ΔХ – прилежащий к румбу, а ΔУ – противолежащий к нему. Имея координаты точек, можно рассчитать и приращения координат. Если в прямоугольном треугольнике известны два катета, то можно определить и все остальные элементы, а именно гипотенузу (расстояние между точками) и острый угол r. Формулы для перехода от румба к дирекционному углу составлены с использованием рисунка 5.5 и представлены в таблице 5.6.

Таблица 5.6 – Переход от румба к дирекционному углу

Обратную геодезическую задачу решают в последовательности:

1. Вычисляют приращения координат ∆Х и ∆У со своими знаками по формулам

∆Х = ХВ – ХА; ∆У = УВ – УА. (5.9)

3. Определяют абсолютную величину тангенса угла румба r по формуле

tg r = . (5.10)

3. В соответствии со знаками приращений, используя таблицу 5.6, переходят к дирекционному углу αАВ

4. Вычисляют расстояние между точками по формулам

(5.11)

или

ДАВ = при r > 7-50 и ДАВ = при r < 7-50. (5.12)

Пример. Определить дирекционный угол с отм.194,9 (7110) (приложение В) на каменный мост (6914) и расстояние до него. Координаты отм.194,9: Х=71640, У=10020. Координаты моста: Х=69510, У=14320.

Решение

1. ∆Х = 69510 – 71640 = –2130;

∆У = 14320 – 10020 = 4300 .

2. tg r = = 2,019; r = 63,65˚ = 63,65˚ : 6˚ = 10-61.

3. Так как ∆Х –, ∆У + , то αАВ = 30-00 – 10-61 = 19-39.

4. ДАВ = = 4799 м.

Решить треугольник – это значит определить неизвестные значения угловых и линейных элементов. Для решения треугольника необходимо знать значения трех любых его элементов. В практике топогеодезических работ приходится решать треугольник по двум углам и одной стороне и по двум сторонам и углу между ними.

Решение треугольника по двум углам и одной стороне (рисунок 5.6) сводится к вычислению по известным углам А и В и расстоянию ДАВ третьего угла С и расстояний ДАС и ДВС .

Угол С может быть найден, как дополнение до 30-00 (180˚) суммы углов А и В, так как сумма внутренних углов треугольника равна 30-00 (180˚).

Расстояния ДАС и ДВС определяют на основании теоремы синусов: в треугольнике отношение длины любой стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная. Поэтому для треугольника АВС можно записать отношение:

= = . (5.13)

На основании изложенного решение треугольника по двум углам и одной стороне выполняют в такой последовательности:

1. Определяют угол С по формуле:

С = 30-00 – (А+В) или С = 180˚ – (А+В). (5.14)

2. Определяют расстояния ДАС и ДВС по формулам:

ДАС = и ДВС = . (5.15)

Пример. А = 16-24 = 97,44˚; В = 7-32 = 43,92˚; ДАВ = 324 м.

Решение

1. С = 30-00 – (А+В) = 30-00 – (16-24 + 7-32) = 6-44 = 38,64˚.

2. ДАС = = = = 360 м.

ДВС = = = = 515 м.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними (рисунок 5.7) сводится к вычислению по известным расстояниям ДАР и ДВР и углу Р расстояния ДАВ и двух углов А и В.

Решение выполняют в такой последовательности:

1. Определяют полусумму углов А и В по формуле

. (5.16)

2. Определяют величину N со своим знаком по формуле

. (5.17)

3. Определяют полуразность углов А и В по формуле

. (5.18)

4. Вычисляют углы А и В по формулам

; . (5.19)

5. Вычисляют расстояние ДАВ по формуле

или . (5.20)

Если расстояние ДАР будет больше расстояния ДВР, то величина N , а, следовательно, и полуразность углов А и В будут иметь отрицательное значение. Знак полуразности следует учитывать при вычислении углов по зависимости (5.19). То есть, если расстояние ДАР больше расстояния ДВР, то и угол В будет больше угла А.

Пример. ДАР = 2135; ДВР = 1740; Р = 12-50 = 75˚.

Решение

1. = 52,5˚ = 8-75.

2. = – 0,102.

3. = –7,57˚ = –1-26 .

4. А = 8-75 – 1-26 = 7-49 = 44,94˚, В = 8-75 + 1-26 = 10-01 = 60,06˚.

5. = 2379 м или = 2379 м.

Превышение привязываемой точки относительно исходной определяют по зависимости:

∆h = – ДН ∙ sin МИТ, или ∆h = – ДГ ∙tg МИТ

или при │ МИТ │< 2-00 ∆h = – 0,001 ДГ ∙ МИТ ∙1,05,

где ДН – расстояние, измеренное до исходной точки;

ДГ – расстояние до исходной точки, приведенное к горизонту;

МИТ – угол наклона при наблюдении на исходную точку с привязываемой

(угол между линией визирования на исходную точку и

горизон­тальным направлением визирной оси).

Пример. Определить превышение привязываемой точки, если измеренная наклонная дальность до нее равна 2600 м, а угол наклона равен минус 1-80 (-1-80).

Решение

∆h = – 2600 ∙ sin(-10,8˚) = – 2600 ∙(-0,187) = + 487 м

или

∆h = – 2,554 ∙(-180) ∙1,05 = + 483 м.