<<
>>

1.7. Метод хорд

Рассмотрим еще одну модификацию метода Ньютона. Пусть известно, что простой корень уравнения находится на отрезке , то есть .

И предположим, что при (если это не так, то будем рассматривать уравнение ). Заменим кривую хордой .

А
у

х2 х1 b = x0

а х* x

В

Рис. 9

y

B

а = х0 х1 х2 b

х* x

А

Рис. 10

Возможны два случая: 1) (рис. 9); 2) (рис. 10). В первом случае конец неподвижен и последовательные приближения:

(9)

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем .

Во втором случае неподвижен конец , а последовательные приближения:

(10)

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем Итак, в результате получаем следующее

Выбор начального условия:

1. Рассматриваем только случай (иначе ).

2. Начальное приближение x0 выбираем из условия

Неподвижен тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода хорд такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство .

Пример. Найти положительный корень уравнения с точностью . Отделим корень. Так как , , то . Разделим интервал пополам: , тогда .

Найдём производные: , . Исходя из того, что , то и пользуемся формулой (10): , .

, , .

Так как , то .

<< | >>
Источник: Котюргина, А.С.. Численные методы: учеб. пособие / А. С. Котюргина. – Омск: Изд-во ОмГТУ,2010. – 84 с.. 2010

Еще по теме 1.7. Метод хорд: