Контрольная работа № 4

Функции нескольких переменных. Кратные интегралы

n 161 – 170. Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

161. . 162. .

163. . 164. .

165. . 166. .

167. 168. .

169. . 170. .

n 171 – 180. Даны функция и точка . С помощью полного дифференциала вычислить приближенно значение функции в данной точке. Вычислить точное значение функции в точке и оценить относительную погрешность вычислений.

171. ; .

172. ; .

173. ; .

174. ; .

175. ;

176. ; .

177. ; .

178. ; .

179. ; .

180. ; .

n 181 – 190. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) в ограниченной замкнутой области D. Область D изобразить на чертеже.

181. Z = x2 – y2 + 3xy + 7 ; D : -2 £ x £ 2, -2 £ y £ 2 .

182. Z = x2 + 2y2 – 1 ; D : x ? -2, y ? -2, x + y £ 4 .

183. Z = 3 – x2 – xy – y2 ; D : x £ 1, y ? -1, x +1 ? y .

184. Z = x2 + y2 + x – y ; D : x ? 1, y ? -1, x + y £ 2 .

185. Z = x2 +2xy +2y2 ; D : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 3 .

186. Z = 3x2 – 3xy +y2 + 1 ; D : x ? -1, y ? -1, x + y £ 1 .

187. Z = 5 + 2xy – x2 ; D : -1 £ y £ 4 – x2 .

188. Z = x2 – 2xy – y2 + x ; D : x £ 0, y £ 1, x + y + 2 ? 0 .

189. Z = x2 – xy – 2 ; D : 4x2 – 4 £ y £ 1 .

190. Z = x2 + xy + 3y2 ; D : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1 .

n 191 – 200. Даны: функция трех переменных u = f (x, y, z),

точка M0 (x0; y0; z0) и вектор (а1, а2,, а3) .

Найти:

1) grad u в точке М0;

2) производную в точке М0 по направлению вектора ;

3) наибольшую крутизну поверхности u = f (x, y, z) в точке М0.

191. M0 (1; -2; 1) ; (-1; 2; 2) .

192. u = ln|3x2 – 2y + z| ; M0 (1; 1; 0) ; (0; 4; 3) .

193. M0 (1; 1; 2) ; (-3; 0; 4) .

194. M0 (1; 2; 2) ; (3; 0; -4) .

195. M0 (2; 2; 1) ; (1; -2; 2) .

196. u = ln|10 – x2 – y2 – z2| ; M0 (2; 2; 1) ; (-4; 0; 3) .

197. M0 (3; 4; 0) ; (2; -1; 2) .

198. u = x2y2 + x2z2 + y2z2 ; M0 (-1; 2; 1) ; (0; 6; 8) .

199. M0 (3; 4; 0) ; (2; 2; -1) .

200. u = ln|12 – x2 – y2 + z| ; M0 (1; 1; -5) ; (3; 0; -4) .

n 201 – 210. Вычислить двойной интеграл по области D. Область интегрирования D изобразить на чертеже. Решить задачу вторым способом поменяв порядок интегрирования.

201.

202. D : x = 1 , y = x2 , y = 0 .

203. D : y = x , y = x3 , x ? 0 .

204. D : y = x2 , y = .

205. D : x = 1 , y = , y = -x2 .

206. D : x = 1 , y = x2 , y = 0 .

207. D : y = x2 , y = .

208. D : x = 1 , y = y = -x3 .

209. D : y = x , y = .

210. D : x = 1 , y = x2 , y = -.

n 211 – 220. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость хОу .

211. z = 0 , z – x = 0 , y = 0 , y = 4 ,

212. z = 0 , z - 4= 0 , x = 0 , x + y = 4 .

213. z = 0 , z – 9 + y2 = 0 , x2 + y2 = 9 .

214. z = 0 , z – 1 + x2 = 0 , y = 0 , y = 3 – x .

215. z = 0 , y + z – 2 = 0 , x2 + y2 = 4 .

216. z = 0 , z – 1 + y2 = 0 , x = y2 , x = 2y2 + 1 .

217. z = 0 , 4z – y2 = 0 , 2x – y = 0 , x + y = 9 .

218. z = 0 , x2 + y2 – z = 0 , x2 + y2 = 4 .

219. z = 0 , z – y2 = 0 , x2 + y2 = 9 .

220. z = 0 , z – 4 + x + y = 0 , x2 + y2 = 4 .