4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел 1. Введение

Предмет алгебры, ее роль и место в современной науке и технике.

1.1. Определители второго и третьего порядков, их свойства и вычисление.

1.2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Раздел 2. Элементы векторной алгебры

2.1. Линейные операции над векторами. Линейно независимые системы векторов. Базис. Система координат.

2.2. Линейные операции над векторами в координатах.

2.3. Скалярное произведение в трехмерном пространстве и его свойства. Длина вектора. Угол между векторами.

2.4. Векторное и смешанное произведение векторов.

Раздел 3. Аналитическая геометрия

3.1. Уравнение линии на плоскости.

3.2. Различные виды уравнения прямой: по точке и направляющему вектору; по двум точкам; точке и угловoму коэффициенту; в отрезках. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Общее уравнение прямой на плоскости. Частные случаи.

3.3. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

3.4. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Их канонические уравнения, эксцентриситет, фокусы, асимптоты, директрисы.

3.5. Полярные координаты на плоскости, их связь с декартовыми координатами. Уравнение линии в полярной системе координат.

3.6. Уравнение поверхности в пространстве.

3.7. Уравнение плоскости. Различные виды уравнения плоскости: по трем точкам; по двум точкам и вектору коллинеарному плоскости; точке и двум векторам коллинеарным плоскости; по точке и нормальному вектору; общее уравнение плоскости. Частные случаи.

3.8. Уравнение линии в пространстве.

3.9. Уравнение прямой в пространстве. Различные виды уравнений прямой: по точке и направляющему вектору; двум точкам; общие уравнения прямой.

3.10. Угол между плоскостями; угол между прямыми; угол между прямой и плоскостью.

3.11. Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды. Цилиндрические поверхности.

3.12. Цилиндрические и сферические координаты, их связь с декартовыми координатами.

Раздел 4. Основы линейной алгебры

4.1. Понятие матрицы. Действия над матрицами: умножение матриц на число, сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.

4.2. Определители n-го порядка, их свойства и вычисление. Алгебраические дополнения и миноры.

4.3. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

4.4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Теорема о базисном миноре. Понятие о решении произвольных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли.

4.5. Решение произвольных систем методом Гаусса, методом Жордана–Гаусса.

4.6. Линейное векторное пространство. Линейные преобразования, их матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

4.7. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка.

Раздел 5. Элементы высшей алгебры

5.1. Понятие множества. Операции над множествами. Декартово (прямое) произведение множеств. Алгебра множеств.

5.2. Отношения на множествах. Бинарные отношения, способы задания. Отображения множеств. Понятие функции. Отношения эквивалентности, порядка, доминирования.

5.3. Конечные и бесконечные множества. Счетные множества. Понятие мощности множества. Эквивалентность множеств. Разбиение на классы.

5.4. Понятие о некоторых алгебраических структурах: группа, кольцо, поле. Понятие изоморфизма.

5.5. Поле комплексных чисел. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел.

5.6. Алгебраические операции над комплексными числами. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел.

5.7. Формулировка основной теоремы алгебры. Теорема Безу. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

Раздел 6. Элементы топологии

6.1. Понятие метрического пространства. Примеры метрических пространств. Непрерывные отображения метрических пространств.

6.2. Сходимость в метрическом пространстве. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества. Полные пространства. Понятие о принципе сжатых отображений.

6.3. Определение и примеры топологических пространств. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Понятие компактности.

Раздел 7. Элементы дифференциальной геометрии

7.1. Дифференциал дуги. Направляющие косинусы касательной. Нормаль.

7.2. Параметрическое задание кривой. Окружность, эллипс, циклоида, Эвольвента окружности.

7.3. Радиус кривизны, центр кривизны, окружность кривизны. Эволюта. Эвольвента. Железнодорожные закругления.

7.4. Дифференциал дуги и направляющие косинусы касательной для кривой в пространстве.