§ 4. МАТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИИ БАЛАНСА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАТРАТ ПРОДУКЦИИ

Взглянув на эту таблицу — или же просто на уравнения,— нетрудно убедиться, что систему уравнений распределения продукции (2.19) можно записать в матричной форме:

х = Ах+д, (2.21)

где А — матрица коэффициентов затрат средств производства, х—вектор валовых продуктов, у — вектор конечных продуктов, то есть:

Решая матричное уравнение (2.21), получим: х — Ах = у>

откуда

х = (/-АГ1у, что можно также записать в виде

х=74гаУ- (2.22)

Здесь / есть единичная матрица, а матрица

в теории межотраслевого баланса носит название матрицы Леонтьева. .

Уравнение (2.22) также имеет вид, соответствующий основной формуле теории регулирования; его можно интерпретировать как операторное уравнение, где вектор у есть состояние входа, а вектор х — состояние выхода. Преобразование заключается здесь в умножении на матрицу (это является своего рода обобщением пропорционального преобразования), а символ матрицы А может рассматриваться как оператор этого преобразования. Поэтому многоотраслевую кибернетическую схему теории воспроизводства можно представить так, как она изображена на рис. 33, где

)

оператор / обозначает умножение на единичную матрицу /, а оператор А обозначает умножение на матрицу коэффициентов затрат средств производства.

Подобное же кибернетическое истолкование можно дать уравнениям баланса затрат продукции (2.16). Их матричная форма такова:

л: = Ах + (v + т), (2.23)

где х, v и т — соответствующие векторы, а А' — транспонированная матрица А.

Решая матричное уравнение (2.23), получим

(/ — А') X = V -(- 171

и

х = (1 — А')-г (v + m)9 что можно записать также в следующем виде:

л: = ~/~~дг (*> + т\ (2.24>

Решение уравнений баланса затрат подобно решению уравнений баланса распределения продукции. В формуле (2.24) состоянию входа соответствуют затраты живого труда, заданные в виде вектора v+m, а матрица Леонтьева в формуле (2.24) транспонирована, ибо, как нетрудно убедиться, /— Л'=(/— А)'. Ёлочная кибернетическая схема, соответствующая формуле (2.24), представлена на рис. 34.