4.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем

Рассмотрим последовательность замен некоторого определен-ного элемента Z данного наименования.

Случайная ситуация, сложившаяся в к-м опыте (ситуации) для элемента Z, показана на рис. 4.3.

>

Т

На рис. 4.3 видно, что система начинает свою работу в момент времени t = 0 и, отработав случайное время Д/^, выходит из строя в момент tXk = Atlk. В этот момент система мгновенно восстанавливается (элемент заменяется) и снова работает случайное время At2k. По истечении некоторого времени система (элемент) вновь выхо-дит из строя в момент t2k = AtXk + At2k = tXk + At2k и вновь мгновенно восстанавливается.

Считают, что интервалы времени между отказами AtXk) At2k, ..., Atpk представляют собой систему взаимно независимых случайных величин с плотностями распределения наработок между отказами

AAtx),AAt2)AAtз), ...,ДДО

Моменты отказов или восстановлений образуют в каждом к-м опыте (испытании) ряд чисел по следующему правилу:

(4.11)

hk = к *2к = At\к + А'2 к = hk + &2к hk = Л'і к + Л'2 к + Л'з к= hk + bt3k

tpk = A'l к + Atlk + - + Мрк = *(р-1)к + Atpk

или

tpk = iAtik=PlAtik+Atpk> (4-12)

/=1 /=1

где tik - время работы (наработка) элемента до /-го отказа в к-м опыте, час, / = 1 к = 1

&tik — время работы (наработка) элемента между (/ — 1)-м и /-м отказами в к-й реализации, час, / = 1,/?, к =

Числа /2ь • tpk образуют случайный поток, который называется процессом восстановления. Этот процесс является различным для различных элементов и продолжается до окончания срока служ-бы системы.

Из большого количества различных процессов восстановления для исследования надежности элементов технической системы (как неремонтируемых, так и ремонтируемых) используют три типа про-цессов:

простой, при котором все функции распределения наработок до первого и между последующими отказами /}(/) равны;

общий, при котором вид функции распределения наработки до первого отказа элемента, установленного в системе заводом- изготовителем, отличается от вида функций распределения нара-боток элементов при последующих заменах, т. е. Fx(t) ф F^t), і = 2, 3, 4, ...;

сложный, при котором все функции распределения /}(/) раз-личны.

Основной характеристикой процесса восстановления является функция восстановления Q(/) и ее дифференциальная характерис-тика — плотность восстановления со(0, определяемые по следующим формулам:

2 /5,(0; (4.13)

п=\

с0(0= ?/„(О, (4.14)

л=1

где fn(t) и Fn(t) - соответственно плотность и функция распределения на-работки до л-го отказа.

В случае независимости наработок между отказами функции распределения Fn{t) наработок до л-го отказа находятся путем по-следовательного применения правила свертки для суммы двух случайных величин:

Анализ и классификация методов расчета параметра и ведущей функции потока отказов приведены в книге авторов . Следует от-метить, что сложность получения аналитических выражений для Q(t) и со(/) по формулам (4.13), (4.14) состоит в том, что свертка (4.15) лишь для некоторых законов распределения вычисляется в конечном виде. Использование аналитических методов расчета плотности со(/) и функции восстановления Q(t) ограничено из-за сложности математической формализации применяемых стратегий восстановления работоспособности технических систем и необхо-димости учета множества факторов, влияющих на замену элемента в системе. В этих условиях наиболее эффективным методом расчета Q(t) и со(0 является метод Монте-Карло.

Расчет ведущей функции и параметра потока отказов этим ме-тодом в случае простого, общего или сложного процессов произво-дится в следующем порядке.

По известным законам распределения наработок элементов с использованием формул преобразования (табл.4.1) моделируются массивы случайных величин Atik между (/ — 1)-м и /-м отказами.

Далее вычисляются значения наработок до /-го отказа tik по следующим формулам:

hk ~ '(/ - 1 )к + hk =

где / — номер отказа, / = 1, р\

к — номер реализации при моделировании, к = \9N; р — максимальное число отказов элемента, получаемое в к-й реализации случайного процесса.

Затем полученные случайные величины наработок tik группиру-ются по интервалам времени.

Номера интервалов, в которые попадают моменты возникнове-ния отказов tik, t2k, tik, ..., tpk, определяются по формуле

hk At У

(4.18)

у = CEIL

где CEIL A і

- наименьшее целое число, не меньшее

А/,

\ /

— величина интервала времени.

Параметр и ведущая функция потока отказов в у-м интервале времени определяются по следующим формулам:

<419>

Л Р

(4.20)

NJ

Qy(0 =12пу=^,

j=u=\

где Пу — число попаданий случайной наработки до /-го отказа іік в у-й интервал времени (J = 1, Л) за N реализаций.

Пі = ? Пу] /=1

1У2 + Л2

(4.21)

h Р

X Е nff = у=1/=1

(4.22)

где h - максимальное число интервалов времени.

Методика расчета параметра со(/) и ведущей функции нестаци-онарного потока отказов с использованием метода статистических испытаний подробно рассмотрена в книге авторов .

Пример 4.7. Законы распределения наработок элемента системы до первого и второго отказов и соответствующие параметры этих законов приведены в табл. 4.2.

Законы распределения наработок № отказа Закон распределения Параметры закона Ь 1

2 Вейбула Экспоненциальный 1,4 0,30 45,8

Определите номера временных интервалов, на которых про-изойдут первый и второй отказы в ходе первого опыта (испытания) (А/ = 1 час).

Решение

Выберем равномерно распределенное случайное число. До-пустим ^ = 0,725.

Вычислим случайные значения наработок на отказ элемента, используя формулы табл. 4.1.

tn = Д/п = - Ь • (ln^)1/fl = -45,8 • (In 0,725)1/м = 20,37 час.;

>21 = 'п + A>2b

A/2i=~-ln^=-^j.ln0,725 = 1,07 час.;

>21 = >11 + а>21 = 20,37 + 1,07 = 21,44 час.

Определим номер временного интервала, на котором про-изойдут отказы

V

Y = CEIL

первый отказ

V но

^20,374

= CEIL

= 21;

у = CEIL

второй отказ CEIL м = CEIL (21,44) U'J 1 1 J = 22.

В ходе первой реализации элемент системы первый раз откажет на 21-м временном интервале, а второй отказ произойдет на 22-м временном интервале.