<<
>>

4.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем

Под сложной технической системой будем понимать систему, состоящую из элементов (два и более). Отказ одного из элементов системы приводит к отказу системы в целом.

Рассмотрим последовательность замен некоторого определен-ного элемента Z данного наименования.

Эксплуатация каждого нового элемента начинается с момента окончания срока службы пре-дыдущего. Первый элемент отрабатывает время Д^, второй — Дґ2, третий - Д/3 и т. д.

Случайная ситуация, сложившаяся в к-м опыте (ситуации) для элемента Z, показана на рис. 4.3.

>

Т

На рис. 4.3 видно, что система начинает свою работу в момент времени t = 0 и, отработав случайное время Д/^, выходит из строя в момент tXk = Atlk. В этот момент система мгновенно восстанавливается (элемент заменяется) и снова работает случайное время At2k. По истечении некоторого времени система (элемент) вновь выхо-дит из строя в момент t2k = AtXk + At2k = tXk + At2k и вновь мгновенно восстанавливается.

Считают, что интервалы времени между отказами AtXk) At2k, ..., Atpk представляют собой систему взаимно независимых случайных величин с плотностями распределения наработок между отказами

AAtx),AAt2)AAtз), ...,ДДО

Моменты отказов или восстановлений образуют в каждом к-м опыте (испытании) ряд чисел по следующему правилу:

(4.11)

hk = к *2к = At\к + А'2 к = hk + &2к hk = Л'і к + Л'2 к + Л'з к= hk + bt3k

tpk = A'l к + Atlk + - + Мрк = *(р-1)к + Atpk

или

tpk = iAtik=PlAtik+Atpk> (4-12)

/=1 /=1

где tik - время работы (наработка) элемента до /-го отказа в к-м опыте, час, / = 1 к = 1

&tik — время работы (наработка) элемента между (/ — 1)-м и /-м отказами в к-й реализации, час, / = 1,/?, к =

Числа /2ь • tpk образуют случайный поток, который называется процессом восстановления. Этот процесс является различным для различных элементов и продолжается до окончания срока служ-бы системы.

Изучением таких процессов занимается теория вос-становления.

Из большого количества различных процессов восстановления для исследования надежности элементов технической системы (как неремонтируемых, так и ремонтируемых) используют три типа про-цессов:

простой, при котором все функции распределения наработок до первого и между последующими отказами /}(/) равны;

общий, при котором вид функции распределения наработки до первого отказа элемента, установленного в системе заводом- изготовителем, отличается от вида функций распределения нара-боток элементов при последующих заменах, т. е. Fx(t) ф F^t), і = 2, 3, 4, ...;

сложный, при котором все функции распределения /}(/) раз-личны.

Основной характеристикой процесса восстановления является функция восстановления Q(/) и ее дифференциальная характерис-тика — плотность восстановления со(0, определяемые по следующим формулам:

2 /5,(0; (4.13)

п=\

с0(0= ?/„(О, (4.14)

л=1

где fn(t) и Fn(t) - соответственно плотность и функция распределения на-работки до л-го отказа.

В случае независимости наработок между отказами функции распределения Fn{t) наработок до л-го отказа находятся путем по-следовательного применения правила свертки для суммы двух случайных величин:

Анализ и классификация методов расчета параметра и ведущей функции потока отказов приведены в книге авторов . Следует от-метить, что сложность получения аналитических выражений для Q(t) и со(/) по формулам (4.13), (4.14) состоит в том, что свертка (4.15) лишь для некоторых законов распределения вычисляется в конечном виде. Использование аналитических методов расчета плотности со(/) и функции восстановления Q(t) ограничено из-за сложности математической формализации применяемых стратегий восстановления работоспособности технических систем и необхо-димости учета множества факторов, влияющих на замену элемента в системе. В этих условиях наиболее эффективным методом расчета Q(t) и со(0 является метод Монте-Карло.

Расчет ведущей функции и параметра потока отказов этим ме-тодом в случае простого, общего или сложного процессов произво-дится в следующем порядке.

По известным законам распределения наработок элементов с использованием формул преобразования (табл.4.1) моделируются массивы случайных величин Atik между (/ — 1)-м и /-м отказами.

Размерность каждого массива равна N.

Далее вычисляются значения наработок до /-го отказа tik по следующим формулам:

hk ~ '(/ - 1 )к + hk =

где / — номер отказа, / = 1, р\

к — номер реализации при моделировании, к = \9N; р — максимальное число отказов элемента, получаемое в к-й реализации случайного процесса.

Затем полученные случайные величины наработок tik группиру-ются по интервалам времени.

Номера интервалов, в которые попадают моменты возникнове-ния отказов tik, t2k, tik, ..., tpk, определяются по формуле

hk At У

(4.18)

у = CEIL

где CEIL A і

- наименьшее целое число, не меньшее

А/,

\ /

— величина интервала времени.

Параметр и ведущая функция потока отказов в у-м интервале времени определяются по следующим формулам:

<419>

Л Р

(4.20)

NJ

Qy(0 =12пу=^,

j=u=\

где Пу — число попаданий случайной наработки до /-го отказа іік в у-й интервал времени (J = 1, Л) за N реализаций.

Пі = ? Пу] /=1

1У2 + Л2

(4.21)

h Р

X Е nff = у=1/=1

(4.22)

где h - максимальное число интервалов времени.

Методика расчета параметра со(/) и ведущей функции нестаци-онарного потока отказов с использованием метода статистических испытаний подробно рассмотрена в книге авторов .

Пример 4.7. Законы распределения наработок элемента системы до первого и второго отказов и соответствующие параметры этих законов приведены в табл. 4.2.

Законы распределения наработок № отказа Закон распределения Параметры закона Ь 1

2 Вейбула Экспоненциальный 1,4 0,30 45,8

Определите номера временных интервалов, на которых про-изойдут первый и второй отказы в ходе первого опыта (испытания) (А/ = 1 час).

Решение

Выберем равномерно распределенное случайное число. До-пустим ^ = 0,725.

Вычислим случайные значения наработок на отказ элемента, используя формулы табл. 4.1.

tn = Д/п = - Ь • (ln^)1/fl = -45,8 • (In 0,725)1/м = 20,37 час.;

>21 = 'п + A>2b

A/2i=~-ln^=-^j.ln0,725 = 1,07 час.;

>21 = >11 + а>21 = 20,37 + 1,07 = 21,44 час.

Определим номер временного интервала, на котором про-изойдут отказы

V

Y = CEIL

первый отказ

V но

^20,374

= CEIL

= 21;

у = CEIL

второй отказ CEIL м = CEIL (21,44) U'J 1 1 J = 22.

В ходе первой реализации элемент системы первый раз откажет на 21-м временном интервале, а второй отказ произойдет на 22-м временном интервале.

<< | >>
Источник: Бережная Е.В., Бережной В.И.. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика,2006. - 432 е.. 2006

Еще по теме 4.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем:

  1. 1.2. Анализ метрологического обеспечения систем контроля и диагностирования сложных технических объектов.
  2. БИБЛИОГАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
  3. 3.2. Математическое моделирование процессов тепломассообмена в сетевых трубопроводах систем теплоснабжения
  4. 1.2. Понятие страхового фонда
  5. 1.2. Механизмы реализации
  6. Экономические механизмы
  7. Теория безопасности
  8. 4.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем
  9. Литература  
  10.   3.1. Философские проблемы техники 3.1.1. Философия техники и методология технических наук 
  11.   3.1.3. Естественные и технические науки  
  12.   3.1.4. Особенности неклассических научно-технических дисциплин  
  13. Введение
  14. Теория организации сложных экономических систем.
  15. Теория организации сложных хозяйственных систем
  16. Теория организации сложных экономических систем.
  17. Теория организации сложных хозяйственных систем