>>

ВВЕДЕНИЕ

Начало XX века было великой эпохой в истории математи­ки. Многие из современных направлений математики родились или оформились именно в это время.

Одним из важнейших событий раз­вития математики, происходившего в период от начала века до первой мировой войны, было рождение фун­кционального анализа, в котором ­соединились многие концепции клас­сического анализа, линейной алгеб­ры и геометрии.

Параллельно возникли и интенсивно развивались разделы математики, сыгравшие важную в становлении функционального анализа: топология, теория меры и интеграла Лебега.

Слово «топология» относят ныне к двум разделам математики. И изна­чально для каждого из них имелись свои определения при слове «тополо­гия». Одну топологию, родоначаль­ником которой был Пуанкаре, назы­вали долгое время комбинаторной, за другой (у истоков ее были исследо­вания Кантора) закрепилось назва­ние общей или теоретико-множе­ственной.

Общая топология примыкает к те­ории множеств и лежит в основании математики (в соответствии с плани­ровкой этой науки, которая была намечена последователями Кантора – Д.Гильбертом, Г.Вейлем и др.). Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерыв­ность» и т.п. Основы общей тополо­гии в ХХ веке были заложены немецким математиком Хаусдорфом, польским математиком Куратовским, знаменитым представителем москов­ской школы П.С.Александровым и другими.

В начале ХХ века Лебег завершил пост­роение теории меры и интегрирова­ния. В XIX веке вслед за Коши и Риманом интеграл понимали как предел римановых сумм. Лебег же предложил другой подход. Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что, в отличие от интеграла Римана, точки х группируют­ся не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Но множества на оси абсцисс, для которых значения функции попадают в некоторый промежуток, у достаточно сложных функций могут быть устроены весьма причуд­ливо, и для построения теории интег­рирования необходимо было в пер­вую очередь построить теорию меры, т.е. научиться «измерять» такие множе­ства. Это было сделано Борелем и Лебегом.

Лебег весь­ма выразительно описал преимуще­ство своего метода. «В методе Коши, – писал Лебег, – оперируют так, как делает это неопытный клерк, кото­рый подсчитывает монеты и кредит­ные билеты сообразно тому, как они попадаются под руку. Тогда как мы оперируем, как опытный и методич­ный клерк, говорящий: у меня n1 монет по одному франку, стоящих 1´n1, у меня n2 монет по два франка, стоящих 2´n2, у меня n5 монет по пять франков, сто­ящих 5´n5 … Итого, у меня 1´n1+ 2´n2 + 5´n5 +... франков. Конечно, и тот и другой клерки придут к одному и тому же результату. Но в случае сумм недели­мых, число которых бесконечно, раз­ница двух методов капитальная.» На базе новой теории меры родилось новое направление в теории функций – метрическая теория функций.

В двадцатые годы ведущая роль в теории функций перешла к русской школе, которую представляли Ни­колай Николаевич Лузин и его учени­ки П.С.Александров, Н.К.Бари, А.Н.Колмогоров, Д.Е.Меньшов, М.Я.Суслин, А.Я.Хинчин и др.

Они и заложили основания московской математической школы. Сделав пер­вые шаги в теории функций, ученики Лузина пошли в дальнейшем каждый своим путем. Колмогоров и Хинчин преобразовали теорию вероятностей, Александров и Урысон – топологию, Люстерник и Шнирельман - нелиней­ный анализ, Новиков внес выдаю­щийся вклад в математическую логи­ку, Лаврентьев сделал крупнейшие открытия в комплексном анализе и механике. Лишь Меньшов и Бари продолжали дело своего учителя. В тридцатые годы ни одна математичес­кая школа мира не располагала таким созвездием выдающихся ученых.

Функциональный анализ возник на рубеже XIX-го и XX-го веков в трудах Гильберта, Фреше, Фредгольма, Лебега и др. После выхода в свет знаменитого трактата С. Банаха он стал самостоятельной дисциплиной.

Еще в конце прошлого века были обнаружены аналогии между теори­ей систем линейных уравнений ко­нечного числа переменных и их бес­конечномерных аналогов – линей­ных интегральных уравнений. Реша­ющий сдвиг в теории был сделан Фредгольмом в 1900 году. Интег­ральное уравнение Фредгольм заменил систе­мой линейных уравнений, рассмотрев вместо интеграла интег­ральные суммы.

Методы решения систем линейных уравнений были разработаны еще в XVIII веке. Применив эти методы и переход к пределу, Фредгольм на­шел условия разрешимости и алго­ритмы нахождения решений уравне­ний. Это послужило стимулом к разработке теории, сочетавшей в себе элементы алгебры и геометрии, но в бесконечномерных пространствах.

Основные понятия и методы функционального анализа постепенно складывались в недрах более старых областей математического анализа.

Сущность функционального анализа состоит в том, что ряд понятий и методов из элементарных глав математического анализа и смежных областей алгебры и геометрии (таких как функциональная зависимость, предельный переход, близость, расстояния, которые явно или неявно и в разных формах используются в этих теориях) переносятся на объекты более общей и более сложной природы, причем широко используются геометрические и алгебраические методы. Такое перенесение, связанное с обобщением основных понятий анализа, позволяет с единой точки зрения подходить к вопросам, ранее рассматривавшимся изолированно в специальных математических дисциплинах, устанавливать связи между, казалось бы, далекими математическими теориями и, тем самым, способствовать открытию новых математических фактов (достаточно указать на ряд теорем существования решений дифференциальных, интегральных и иных уравнений, полученных методами функционального анализа).

Характерным для функционального анализа является не только обобщение, но и геометризация основных понятий и методов классического анализа. Функции тех или иных классов рассматриваются как точки или векторы «функциональных пространств». Такое рассмотрение потребовало обобщение геометрических понятий – бесконечномерных евклидовых, векторных и других пространств. Это привело, в конце концов, к созданию общих понятий метрических, линейных нормированных, топологических пространств, охватывающих как ранее рассматривающиеся геометрические объекты, так и разные функциональные пространства.

Развившись в большую самостоятельную математическую дисциплину, функциональный анализ и поныне продолжает ассимилировать и обобщать методы других, уже более новых математических дисциплин.

| >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме ВВЕДЕНИЕ:

  1. Статья 314. Незаконное введение в организм наркотических средств, психотропных веществ или их аналогов
  2. ВВЕДЕНИЕ История нашего государства и права — одна из важнейших дисциплин в системе
  3. ВВЕДЕНИЕ
  4. Мысли об организации немецкой военной экономикиВведение
  5.   ПРЕДИСЛОВИЕ [к работе К. Маркса «К критике гегелевской философии права. Введение»] 1887  
  6. Под редакцией доктора юридических наук, профессора А.П. СЕРГЕЕВА Введение
  7. ВВЕДЕНИЕ
  8. Введение
  9. Введение
  10. ВВЕДЕНИЕ
  11. Введение
  12. Введение
  13. Введение
  14. ВВЕДЕНИЕ
  15. Введение
  16. ВВЕДЕНИЕ
  17. ВВЕДЕНИЕ