2.3.2 Дискретное измерение технологических параметров
В практике технологических измерений очень редко осуществляют непрерывную запись параметра, особенно когда становится вопрос о передаче показаний на расстояние. Чаще всего делают замеры параметров с некоторым определённым периодом регистрации (например, давление на компрессорных станциях регистрируют с периодичностью в 2 часа).
При этом руководствуются следующими соображениями: если технологический параметр не содержит в своём спектре высоких частот, его регистрация осуществляется реже; для процессов, которые протекают быстро (имеют высокочастотный спектр), необходимо осуществлять частую регистрацию. Таким образом, периодичность измерения находится в прямой связи с характером протекания технологического процесса, то есть с его спектральными свойствами.В.А. Котельников сформулировал теорему, которая устанавливает количественную связь между спектром процесса и периодичностью его измерения.
Теорема Котельникова: Если случайный процесс 
имеет ограниченный спектр с частотой 
, то он полностью определяется дискретными значениями с принятым шагом 
. Общая формула теоремы Котельникова имеет вид:
. (2.23)
Периодичность измерения действительно определяется соотношением, . При этом 
определяется абсолютно точно во всех точках отсчёта.
Значительный интерес представляет выражение вида:
.
График функции 
показан на рис.2.3.
Эта функция, как видно из графика, обладает рядом свойств. Она равна единице при 
и равна нулю при 
, то есть во всех точках отсчёта, за исключением точки . Если рассчитать спектр этой функции, то он будет постоянным в пределах полосы от 0 до 
, то есть имеет вид рис. 2.4.
Такие системы, которые пропускают только нижние частоты до определённой частоты и не пропускают никаких других частот, называются фильтрами нижних частот. Откуда вытекает физическая реализация теоремы Котельникова: для того чтобы воссоздать непрерывный процесс по дискретным значениям, принятым через интервал времени, необходимо эти дискретные значения пропустить через фильтр нижних частот.
 |
Приведём пример использования теоремы Котельникова. Пусть случайный процесс расхода жидкости имеет автокорреляционную функцию следующего вида:
,
тогда спектральная плотность будет иметь вид:
Графически нормированная спектральная плотность имеет вид рис. 2.5.
 |
Как видно из рис. 2.5, теоретически спектр расхода жидкости бесконечный, но практически его ограничивают уровнем 0,05. В этом случае легко подсчитать, что 
, откуда:
Если принять 
= 0,5 с–1, получаем 
≈ 1,5 с. Таким образом, чтобы точно воспроизвести расхода жидкости по дискретным отсчётам, необходимо шаг временного квантования принять равным 1,5 с.