2.3.2 Дискретное измерение технологических параметров

В практике технологических измерений очень редко осуществляют непрерывную запись параметра, особенно когда становится вопрос о передаче показаний на расстояние. Чаще всего делают замеры параметров с некоторым определённым периодом регистрации (например, давление на компрессорных станциях регистрируют с периодичностью в 2 часа).

В.А. Котельников сформулировал теорему, которая устанавливает количественную связь между спектром процесса и периодичностью его измерения.

Теорема Котельникова: Если случайный процесс имеет ограниченный спектр с частотой , то он полностью определяется дискретными значениями с принятым шагом . Общая формула теоремы Котельникова имеет вид:

. (2.23)

Периодичность измерения действительно определяется соотношением, _. При этом определяется абсолютно точно во всех точках отсчёта.

Значительный интерес представляет выражение вида:

.

График функции показан на рис.2.3.

Эта функция, как видно из графика, обладает рядом свойств. Она равна единице при и равна нулю при , то есть во всех точках отсчёта, за исключением точки . Если рассчитать спектр этой функции, то он будет постоянным в пределах полосы от 0 до , то есть имеет вид рис. 2.4.

Такие системы, которые пропускают только нижние частоты до определённой частоты и не пропускают никаких других частот, называются фильтрами нижних частот. Откуда вытекает физическая реализация теоремы Котельникова: для того чтобы воссоздать непрерывный процесс по дискретным значениям, принятым через интервал времени, необходимо эти дискретные значения пропустить через фильтр нижних частот.

Приведём пример использования теоремы Котельникова. Пусть случайный процесс расхода жидкости имеет автокорреляционную функцию следующего вида:

_,

тогда спектральная плотность будет иметь вид:

Графически нормированная спектральная плотность имеет вид рис. 2.5.

Как видно из рис. 2.5, теоретически спектр расхода жидкости бесконечный, но практически его ограничивают уровнем 0,05. В этом случае легко подсчитать, что , откуда:

Если принять = 0,5 с^–1, получаем ≈ 1,5 с. Таким образом, чтобы точно воспроизвести расхода жидкости по дискретным отсчётам, необходимо шаг временного квантования принять равным 1,5 с.