Принцип аргумента.

Теорема. Логарифмический вычет функции относительно контура С равен приращению аргумента при обходе контура С, деленному на , равно разности между числом нулей М и числом полюсов N функции в облости D, ограниченной контуром С:

Док-во:

Z W

z w

C

1)

2) Внутри С будет иметь конечное число нулей, т.к.

3)

Теорема Руше.

ЕСЛИ G – односвязная область, С – замкнутый контур, ограничивающий G, и аналитические в G и на С, на С, на С, - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции , - сумма кратностей всех лежащих в G нулей функции +, ТО .

Док-во:

1)

2)

3)

w

Вектор из начала координат в точку, при такой конфигурации образа С, ни одного оборота не совершит. .

4)

Пример. Найти количество нулей, которые имеет функция в круге .

,

при :

имеет нуль кратности 5 w имеет 5 нулей.

Утв. Если , то имеет n корней.

Док-во:

С:

имеет нуль кратности n, т.о.

Теорема. Если , аналитическая в G , то - аналитическая.

Док-во:

1)

2) аналогично доказываем

3) Из пунктов 1) и 2) следует, что для F выполнены условия Коши-Римана, следовательно F аналитическая.

Лекция 10