Связь между нулем и полюсом

Утв1. имеет в точке нуль порядка n имеет в точке полюс порядка n.

Док-во: {}

Утв2. имеет существенно особую точку в точке имеет в неизолированную особую точку ИЛИ существенно особую точку.

Пример.

;

;

; ;

Таким образом, получаем не изолированную особую точку.

Утв3. Если ,

,

,

то имеет при:

1)mn устранимую особую точку,

2)m>n полюс порядка n-m.

Док-во: {для 2}

;

Теорема Сохоцкого.

Если -существенно особая точка функции , то .

Док-во:

1)

а)

-сходится при

сходится при

б) Предположим противное:

ограничена в окрестности точки .

в)

при (т.е.

г)В круге ограничена, как непрерывная функция в замкнутой области.

д) Из б), в), г) следует ограничена на всей комплексной плоскости.

е) ограничена на С, аналитическая, по теореме Ляувилля противоречие.

2)

а) имеет не изолированную особую точку.

б) -изолированная особая точка

имеет изолированную особую точку в имеет существенно особую точку по Утв2 имеет существенно особую точку в

по 1)

Теорема доказана.