<<
>>

Подбор производственной функции

При оценке некоторой производственной функции наша задача заключается в подборе аппроксимирующей (приближающей) функции таким образом, чтобы она наиболее точно отражала взаимозависимость между вводимыми факторами производства и уровнем выпуска продукции реально существующего исследуемого производственного процесса.

Но это довольно сложная задача, потому что конкретной подосновой некоторой производственной функции могут быть биологические, психологические, физические или иные факторы, характеризующие окружающую среду, а также экономические соображения. К счастью, значительное количество критериев (как экономических, так и статистических) могут быть использованы для оценки индивидуальных свойств различных производственных функций. К упомянутым критериям можно отнести такие факторы, как форму каждой из различных кривых, значения предельного продукта и эластичности, связанные с каждой кривой, а также относительную легкость или трудность применения вычислительных процедур к каждой производственной функции.

Для того чтобы вывести производственные функции для конкретного соотношения данных «затраты-выпуск», необходимо аппроксимировать последние линейными, квадратичными, кубическими уравнениями или уравнениями более высоких степеней. При подборе алгебраических производственных функций, быть может, наиболее важное, о чем следует помнить, это то, что они являются математическими моделями, которые в лучшем случае только приближают нас к правильному представлению о соотношении вводимых факторов производства и уровня выпуска продукции. Трудноучитываемые факторы, различного рода каталитические (изменяющие скорость производственного процесса) воздействия и неопределенности, связанные с авариями, поломками, ошибками, несовершенной связью, ошибками в оценках и т.п. не приник маются во внимание в алгебраических формулах. Поэтому математическую модель

следует воспринимать только лишь как некоторую несовершенную аппроксимацию конкретной системы, а не как точную формулу.

Тем не менее производственная функция является важным инструментом, позволяющим исследователю на основании абстрактного представления о реальном производственном процессе, протекающем под наблюдением менеджера, осуществить анализ производства.

При подборе производственной функции следует также помнить об ограничениях, накладываемых линейной регрессией. Если мы хотим представить уровень выпуска продукции как функцию одного переменного вводимого фактора производства, в то время как все остальные факторы остаются неизменными, то она может быть представлена математически в виде линейной, квадратичной, кубической или экспоненциальной (степенной) функции. Но если мы хотим представить уровень выпускаемой продукции в виде функции более чем одцого переменного вводимого фактора производства, то могут быть использована только линейная или степенная (экспоненциальная) функция, потому что именно они являются единственными типами функций, которые могут быть аппроксимированы методом множественной регрессии.

Свойства производственных функций

При анализе производственных функций, в которых общий выпуск продукции, Q, является функцией единственного переменного вводимого фактора производства, X, в то время, как все остальные факторы остаются неизменными, нас больше всего интересует измерение среднего выпуска продукции, предельного продукта и эластичности производства. Эти основные свойства производственной функции могут быть выражены простыми алгебраическими терминами или графически.

Средний выпуск продукции. Если задана производственная функция Q = /(X), в которой уровень выпуска продукции, Q, представляет собой функцию вводимого переменного фактора производства, то в таком случае средний выпуск продукции - это отношение выпущенной продукции к вводимому фактору, т.е.

Предельный продукт. Предельный продукт представляет собой темп прироста выпуска продукции, который происходит при изменении вводимого фактора производства на одну единицу.

Если вводимые факторы производства являются дискретными величинами, то в таком случае предельный продукт равен

При непрерывной производственной функции предельный продукт представляет собой первую производную от этой функции, которая определяет наклон кривой общего выпуска продукции:

Эластичность производства. В экономическом анализе производства эластичность измеряет эффект масштаба. Как мы увидим позже, многие эмпирические исследования были посвящены определению эластичности производства в различных отраслях промышленности. Эластичность производства определяется как

Как объяснялось в предыдущей главе, в любой заданной точке (Q, X) на производственной кривой точечная эластичность производства определяется следующим отношением:

Формула для буговои эластичности, tp, может быть представлена в виде

При использовании этой формулы полагают, что небольшой участок рассматриваемой кривой может быть с достаточной степенью точности аппроксимирован прямой линией. Это происходит потому, что дуговая формула фактически измеряет эластичность в точке, расположенной в середине прямой линии, которая соединяет оба конца дуги.

Уравнения для производственных функций с одним вводимым фактором производства

Имеются пять уравнений, с помощью которых можно описать взаимозависимость «затраты—выпуск» при экспериментальном исследовании производства, когда один вводимый фактор подразумевается переменным, а все остальные факторы производства остаются неизменными. Эти пять уравнений представлены в табл. 11.3 наряду с уравнениями, которые определяют соответствующие каждой производственной функции значения среднего выпуска продукции, предельного продукта и эластичности.

В каждом из уравнений используются следующие обозначения:

Q — общий выпуск продукции (в шт.);

X — численное значение единственного интересующего нас переменного

вводимого фактора производства (в шт.);

а, Ь, с, d — параметры, подлежащие определению.

Параметр а. Следует отметить, что общее уравнение для линейной, квадратичной или кубической функции содержит постоянный параметр, а, который графически представляет собой отрезок, отсекаемый данной кривой на оси ординат. Этот параметр может иметь или не иметь экономического смысла в зависимости от характера производственной функции и диапазона наблюдений за переменной величиной вводимого фактора производства. На практике могут встретиться такие случаи, когда вводимый фактор, равный нулю, может, тем не менее, «производить» продукцию. Например, если бы нам пришлось исследовать влияние удобрений на производство овощей, то в этом случае какое-то количество овощей было бы произведено, даже если бы не применялись никакие удобрения. В таких случаях, если эмпирическое исследование включает в себя нулевое значение вводимого фактора производства или в диапазоне фак-

тических наблюдений находится значение вводимого фактора, близкое к нулю, то параметр а должен соответствовать такому уровню выпуска продукции, при котором вводимый фактор производства равен нулю.

Таблица П.З

Пять уравнений для экспериментального нсследовання производственной функции с одним переменным вводимым фактором производства

В тех случаях, когда продукт не может быть произведен без переменного вводимого фактора, выпуск продукции будет равен нулю, когда вводимый фактор производства равен нулю. Если эмпирическое исследование включает в себя вводимый фактор производства, равный нулю или приближающийся к нулю в диапазоне фактических наблюдений, то график определяемой функции должен пройти через начало координат. Однако часто бывает так, что эмпирические данные не содержат малых значений вводимых факторов производства в диапазоне фактических наблюдений.

При этом в процессе аппроксимирования кривой по методу наименьших квадратов могут иметь место случаи, когда величина а принимает значения, не равные нулю, а иногда даже и отрицательные.

Очевидно, что отрицательное значение а не имеет экономического смысла, поскольку отрицательный выпуск продукции просто физически невозможен. Даже положительная постоянная величина в производственном уравнении является математическим дополнением, которое не имеет экономического смысла, если нулевые и прочие малые уровни вводимого фактора производства не были включены в диапазон наблюдений. Но даже в тех случаях, когда принимается, что положительное значение а имеет некоторый экономический смысл, исследователь может установить, что некоторый уровень выпуска продукции возможен даже тогда, когда никакой переменный вводимый фактор производства не исследуется.

12-1854

Проанализировав уравнения, представленные в табл. 11.3, можно сделать некоторые общие выводы.

1. Если Х= 0, то степенная функция и соответствующие средний уровень продукции и предельный продукт также равны нулю. Следовательно, график степенной функции всегда проходит через начало координат.

2. Для линейной, квадратичной и кубической функций при X = 0 средний выпуск продукции является неопределенным. При Х= 1 средний выпуск продукции равен единице.

Линейная производственная функция

Некоторые свойства линейной производственной функции наглядно иллюстрируются при помощи графика, представленного на рис. 11.1.

Средний выпуск продукции. График этой функции, — + Ъ, представляет собой ги- перболу АР, которая асимптотически приближается к прямой предельного продукта МР. По мере увеличения значения X средний выпуск продукции приближается к величине предельного продукта, но никогда полностью не совпадает с ним. Таким образом, кривые предельного продукта и среднего выпуска продукции никогда не пересекутся.

Рис. 11.1. Линейная производственная функция вида Q = а + ЬХ

Предельный продукт.

Предельный продукт, МР, линейной производственной функции Q = а + ЬХ представляет собой постоянную величину при вСех возможных уровнях выпуска продукции, и поэтому графическое изображение предельного продукта представляет собой просто горизонтальную прямую, отсекающую на оси ординат отрезок,

численно равный Ъ единиц продукции. Так как этот факт противоречит закону убывающей доходности, линейные функции редко используются в практических исследованиях, особенно если предполагается изменение уровня выпуска продукции в широких пределах (при изменении в большом диапазоне вводимого фактора производства). Но при малых вариациях уровня выпуска продукции и соответствующем узком диапазоне вводимого фактора производства линейное приближение может быть вполне приемлемым и обеспечивающим вполне удовлетворительную аппроксимацию основной производственной функции. '

Эластичность. Эластичность линейной производственной функции различна при каждом значении вводимого фактора X, если кривая производственной функции не проходит через начало координат, т.е. величина а = 0. В этом особом случае средний выпуск продукции, АР, и предельный продукт, МР, численно совпадают, и поэтому гр= 1,0 в любой точке вдоль этой общей кривой.

Квадратичное уравнение вида I: квадратичная производственная функция с положительным параметром с

Как следует из графика, представленного на рис. 11.2, положительный знак параметра с в производственной функции вида Q = а + ЬХ+ сХ2 обусловливает то обстоятельство, что соответствующая этой функции параболическая производственная кривая открыта кверху. То обстоятельство, что вогнутость кривой обращена кверху, придает ей специфическое свойство, заключающееся в том, что ни функция общего выпуска продукции ТР, ни функция предельного продукта МР не будут иметь максимума; следовательно, квадратичная производственная функция с положительным параметром с совершенно противоречит закону убывающей доходности. Однако она может математически точно выразить некоторую часть какой-то конкретной производственной функции при малых значениях уровней вводимых факторов производства.

Рис. 11.2. Квадратичная производственная функция с положительным параметром с

12*

Средний выпуск продукции. График этой функции, — + b + сХ, представляет собой некоторый участок гиперболы АР, медленно поднимающейся вверх по мере увеличения значения X, но все время остающейся под кривой предельного продукта МР, причем наклон кривой АР более пологий. Если величина параметра a = 0, то в таком частном случае кривая АР становится полого поднимающейся вверх прямой линией, отсекающей на оси ординат отрезок, численно равный Ъ единиц продукции. Во всех других случаях кривые предельного продукта МР и среднего выпуска продукции AF расходятся по мере возрастания величины вводимого фактора производства.

Предельный продукт. Предельный продукт МР, выражаемый уравнением b + 2сХ, представляет собой полого поднимающуюся вверх прямую линию (по мере увеличения значения X), которая отсекает на оси ординат отрезок, численно равный b единиц продукции, и обладает тем специфическим свойством, что при X = 1 значение предельного продукта больше соответствующего значения общего выпуска продукции. Этот математический парадокс не имеет никакого экономического смысла.

Эластичность. Даже если параметр а = 0, то эластичность имеет разное значение в каждой точке кривой, изображающей производственную функцию. Поскольку кривые предельного продукта МР и среднего выпуска продукции АР расходятся, причем при одном и том же значении X величина МР всегда больше АР, производственная функция возрастает более эластично по мере возрастания вводимого фактора производства.

Квадратичное уравнение вида II: квадратичная производственная функция с отрицательным параметром с

Случаи, когда параметр с является отрицательным, характеризуются квадратичной производственной функцией, график которой представлен на рис. 11.3.

Рис. 11.3. Квадратичная производственная функция с отрицательным параметром с

Средний выпуск продукции. График кривой среднего выпуска продукции АР, вы- а *

ражаемый уравнением — + b сХ, представляет собой гиперболу, которая приближается, но не достигает кривой предельного продукта МР при некотором значении X, после которого она расходится с кривой МР, поскольку имеет более пологий наклон. Если параметр а = 0, то кривая АР превращается в полого опускающуюся вниз прямую линию, отсекающую на оси ординат отрезок, численно равный Ь единиц продукции.

Предельный продукт. Предельный продукт МР, выражаемый уравнением b — 2сХ, представляет собой полого опускающуюся вниз прямую линию, которая отсекает на оси ординат отрезок, численно равный b единиц продукции, а на оси абсцисс - отрезок, правый конец которого соответствует значению X, при котором величина общего выпуска продукции максимальна. Линия МР на всем своем протяжении расположена под линией АР.

Эластичность. Как отмечалось ранее, функция предельного продукта МР представляет собой прямую линию, но функция среднего выпуска продукции не является линейной; следовательно, отношение МР/АР не является постоянным и поэтому эластичность в каждой точке кривой производственной функции различна.

Кубическая функция

На рис. 11.4 представлен график, который хорошо иллюстрирует традиционную, или классическую, производственную функцию с одним переменным вводимым фактором производства (она подробно рассматривалась в предыдущей главе). Совокупность точек, представленных на рисунке, есть не что иное, как значения вводимого фактора производства и уровней выпуска продукции, полученные в результате наблюдений. Вертикальные столбики в виде точек указывают на то, что конкретные значения фактора могут вводиться в производство только в виде дискретных единиц. Заметим, что почти все точки сконцентрированы в стадии 2 производственной функции. Это говорит о том, что руководство фирмы, производство которой характеризуется данной функцией, обычно в состоянии поддерживать произ- водствр в рациональном диапазоне значений вводимых факторов.

Кубическая производственная функция хорошо отражает как увеличивающуюся, так и уменьшающуюся предельную производительность, имеющую место при единственном переменном вводимом факторе производства. Если специфический вводимый фактор производства отсутствует, то никакой продукции выработано быть не может и, следовательно, постоянный параметр а будет равен нулю. В таком случае кубическая производственная функция обнаруживает следующие свойства.

Средний выпуск продукции. При отсутствии в кубической функции параметра а средний выпуск продукции для кубической производственной функции, представленной на рис. 11.4, может быть выражен в следующем виде:

т.е. представляет собой квадратичную функцию. Стадия 2 начинается в точке пересечения кривых АР и МР, где величина среднего выпуска продукции максимальна и равна величине предельного продукта.

Предельный продукт. Как следует из рис. 11.4, предельный продукт также представляет собой квадратичную функцию

Поскольку параметр d в кубической производственной функции всегда отрицателен, предельный продукт вначале увеличивается, а затем уменьшается. Величина вводимого фактора производства, при которой МРявляется максимальным, замечательна еще и тем, что ей соответствует точка перегиба на кривой общего выпуска продукции ТР, в которой происходит изменение знака вогнутости кривой; до точки перегиба кривая ТР обращена своей вогнутостью вверх, а после точки перегиба — вниз.

Рис. 11.4. Кубическая производственная функция, построенная методом аппроксимации на основании данных, полученных в результате наблюдений

Эластичность. В отсутствие параметра а эластичность производства может быть выражена в виде

Поскольку указанное отношение изменяется по величине при изменении величины X, эластичность различна в любой точке кривой общего выпуска продукции.

Максимальная эффективность кубической функции. Как следует из рис. 11.4, максимальная эффективность производства имеет место, когда величина среднего выпуска продукции АР максимальна. Этому условию соответствует точка, в которой МР = = АР, т.е. когда

Иллюстративная задача

Второе решение указывает, какое количество вводимого фактора производства X следует ввести в технологический процесс, чтобы вводимые ресурсы использовались наиболее эффективно.

Стивен К. — доброволец Корпуса мира, который принял решение применить свои знания и опыт в области коммерческой деятельности для того, чтобы оказать помощь народу Шри Ланки в развитии основных (базовых) отраслей промышленности этого островного государства. Он получил назначение в город Коломбо, чтобы помочь одному из предпринимателей наладить работу фабрики верхней одежды (планировался выпуск мужских рубашек на экспорт). В процессе работы Стивен К. обратил внимание на то, что те операторы швейных машин, которые были наняты на работу на начальном этапе, имели бопее высокую квалификацию и, как следствие, бопее высокую производительность труда по сравнению с теми, которые поступили на работу позднее, когда фирма стала расширяться. Углубив свои исследования с применением экономических методов управления, он постулировал, что производственная функция этой фирмы может быть кубической. После тщательного изучения производственных показателей фабрики за первый год ее работы с помощью метода наименьших квадратов ему удалось аппроксимировать реальные точки следующей кривой, выражающей производственную функцию предприятия:

Q = 65Х + 8Х2 - 0.0625Х3, (15)

где Q — уровень выпуска готовых рубашек в месяц;'

X - количество операторов швейных машин.

Для того чтобы определить, какое количество операторов швейных машин необходимо иметь на фабрике для обеспечения максимальной эффективности производства, Стивен К. воспользовался уравнением (14) и получил

При указанном значении вводимого фактора уровень выпуска продукции составил бы

Q = 65(64) + 8(64)2 - 0,0625(64)3 = 20 544 рубашки в месяц.

Средний выпуск продукции (соответствующий указанному ранее максимальному уровню) составил бы

т.е. он численно равен среднему выпуску продукции при указанном значении вводимого фактора производства.

Владельца предприятия также заинтересовало, нельзя ли путем исследования установить количество операторов, при котором достигался бы максимальный уровень выпуска продукции (рубашек). Чтобы найти указанный уровень вводимого фактора — численность операторов — Стивен представил функцию предельного продукта в обычном виде, положив ее равной нулю, и решил полученное уравнение относительно X с помощью общей формулы для корней квадратного уравнения

т.е. А = 3d, В = 2с и С = Ь. При МР = 0 (т.е. при таком значении вводимого фактора X, когда уровень выпуска продукции максимален)

Поскольку отрицательное значение вводимого фактора производства физически невозможно, единственно возможный ответ таков: для достижения максимального уровня выпуска продукции уровень вводимого фактора производства X должен .быть равен приблизительно 89 операторам швейных машин. При указанном уровне вводимого фактора общий выпуск продукции составил бы

Q = 65(89) + 8(89)2 - 0,06258(89)3 ~ 25 092 рубашки в месяц.

Степенная функция с одним вводимым фактором производства

Степенная производственная функция, которая Выражает величину общего выпуска продукции как некоторую функцию одного вводимого фактора производства, X, имеет вид

Q = аХь. (17)

Положив постоянный параметр а равным единице, нетрудно убедиться, что кривизна функции, выраженной с помощью формулы (17), зависит от величины показателя степени Ь, который во всех встречающихся практических задачах предполагается только положительным. (Отрицательное значение показателя степени не имеет экономического смысла.) Таким образом, если b = 1, то кривая представляет собой прямую линию. При b > 1 кривая обращена своей выпуклостью к оси абсцисс, в то время как при b < 1 она обращена к оси абсцисс своей вогнутостью (рис. 11.5).

Рис. 11.5. Пример степенной функции Q = аХь при значении параметра а — Іи показателя степени Ь > О

Функция предельного продукта, МР= ЬаХьл, приемлема и при увеличении, и при сохранении на постоянном уровне, и при уменьшении величины предельного продукта, но это утверждение справедливо не для всех трех основных случаев степенной функции Q = аХь, что хорошо иллюстрируется наклонами криЬых на рис. 11.5. Так, если b = 1, то как средний выпуск продукции, так и предельный продукт будут постоянны и равны параметру а. Этому случаю соответствует линейная функция Q = X.

Если b > 1, то предельный продукт будет возрастать с увеличением вводимого фактора производства X, но в пропорции, зависящей от величины 6. Для степенной производственной функции, выражаемой кривой Q = X2, МР= 2Х. Напротив, если показатель степени Ь

<< | >>
Источник: Сио К.К.. Управленческая экономика: Пер. с англ. - М.,2000. — 671 с.. 2000

Еще по теме Подбор производственной функции:

  1. 3.5. Минимизация издержек при выборе и использовании факторов производства
  2. Мероприятия по сокращению производственных затрат
  3. Общие (основные) функции управления
  4. 11.2 Система антикризисного управления персоналом
  5. Компенсаторная функция.
  6. 4.3. Процессные функции менеджмента
  7. 8.2. ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА И ФУНКЦИИ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ
  8. Подбор, расстановка и выдвижение кадp о в.
  9. ПОДБОР КАДРОВИ ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАБОТЫПЕРСОНАЛА
  10. HR-менеджмент: технологии, функции и методы работы
  11. Функции единиц и способов языковой концептуализации в центре прототипической модели делового письма