4. ДОГОВОРЫ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (ЗАДАЧА О ТОРГЕ)
Пусть множество возможных полезностей (utility possibility set) имеет вид
U = {(u1t u2, ..., un) e Шп | ui В рамках используемого в настоящей работе теоретико- игрового подхода x = (y, R), где y e A - действие исполнителя, R >0 - стоимость договора (сумма, выплачиваемая заказчиком исполнителю). Целевая функция заказчика предполагается равной разности между его доходом H(y) и выплатами исполнителю: Ф(у, R) = H(y) - R, а целевая функция исполнителя - разности между стоимостью договора и затратами c(y): f(y, R) = R - c(y). Определим функцию коллективного благосостояния (Social Welfare Function) W: U (ФКБ). Задача принятия решений заключается в выборе распределения полезностей, максимизирующего функцию коллективного благосостояния: (1) W(u) ® max . usU Исследуем, какими свойствами может и должна (с нормативной точки зрения - см. ниже) обладать ФКБ. ФКБ называется (строго) возрастающей, если из того, что u (>)>u2, i el, следует, что W(u') (>) > W(u2). Если ФКБ является строго возрастающей, то решение задачи (1) является Парето-оптимумом. Можно на ФКБ также накладывать требования симметричности (относительно перестановок агентов), вогнутости и т.д. Примерами наиболее распространенных ФКБ являются следующие. -утилитарная ФКБ: Wu(u) = Xui ; isl обобщенная утилитарная ФКБ: Wu(u) = X gi (ui), isl где (gi(-)} - возрастающие вогнутые функции; эгалитарная (максиминная) ФКБ: We(u) = min {u;, u2, ,..., un}; обобщенная эгалитарная ФКБ: We(u) = min {b ult P2 u2, ,..., bn un}, где {Д} - неотрицательные константы. Частным случаем обобщенной утилитарной ФКБ (в которой gi(u1) = ln (ui - ui'), i el) является ФКБНэша: WNu) = Xln(u - ui) . is l Задачей торга (Nash bargaining problem) называется совокуп-ность (U, u'). Решение задачи торга обычно ищется в терминах ФКБ, максимизация которой (см. задачу (1)) приводит к решению u , удовлетворяющему тем или иным свойствам. Аксиоматический подход в теории принятия решений в общем случае заключается в задании набора аксиом, однозначно определяющего соответствующее правило принятия решений. Другими словами, в рамках этого подхода набор аксиом должен давать необходимые и достаточные условия существования единственного (или отсутствия вообще) правила принятия решений. В задаче торга правило принятия решений определяется ФКБ. Дж. Нэшем доказано [119] (см. современное изложение в [59, 115, 118, 120]), что единственным решением, удовлетворяющим следующим аксиомам: индивидуальной рациональности (Individual Rationality: ui* >u'i, i e I); оптимальности по Парето (Pareto-optimality); независимости от линейного преобразования полезности (Independence from Linear Transformations: если множество W получено из множества U линейным преобразованием полезности: wi = ai ui + bi, ai > 0, i e I, то F(W, w') = a u* + b eW; независимости о посторонних альтернатив (Independence from Irrelevant Alternatives: если u e W, u' e W, WcU, то из u e F(U, u') следует, что u = F(W, u'); симметричности (Symmetry: если множество возможных полезностей симметрично относительно перестановок агентов и все угрозы одинаковы, то одинаковы и полезности агентов), является ФКБ Нэша. Развитию и обобщению этого результата посвящена многочисленная литература (см. обзоры в [59, 122], а также [110, 111, 125 и др.]). С точки зрения настоящего исследования можно констатировать, что полученные в рамках аксиоматического подхода результаты теории принятия решений могут быть использованы для определения (быть может, посредством явного задания ФКБ - см. ниже) конкретных параметров договора, то есть точки внутри области компромисса. В рамках теоретико-игровой модели аналогом ФКБ является сумма целевых функций заказчика и исполнителя, следовательно решением задачи (1) является действие исполнителя, максимизирующее разность между доходом заказчика и затратами исполнителя: (2) y* = arg max {H(y) - c(y)}. yeA Величину Л = H(y*) - c(y*) можно интерпретировать как «прибыль» системы в целом - максимальный суммарный результат (в единицах полезности), кото-рый может быть достигнут при взаимодействии данных заказчика и исполнителя. Обозначим «угрозы» u'1 = min H(y), u'2 = min c(y) (единица ye A ye A обозначает первого игрока - заказчика, двойка - второго игрока - исполнителя). ui >u'i, i = 1, 2, u1 + u2 = Л. Если, как это делается обычно в моделях стимулирования [49, 68], предположить, что резервные полезности равны нулю, то есть u'1 = u'2 = 0, то получаем, что стоимость договора R должна удовлетворять следующему соотношению: R e[c(y*); H(y*)]. Отметим, что решение (6) задачи (4)-(5) в общем случае отличается от решения, даваемого ФКБ Нэша. Одна из причин этого различия заключается в том, что в теоретико-игровой модели договорных отношений рассматривается иерархическая игра типа Г2 [35, 40] с побочными платежами, в которой стоимость договора является функцией от действий исполнителя: R = s(y), s A ® . В моделях же теории принятия решений рассматривается «обычная» игра, исходом которой является некооперативное равновесие Нэша. Таким образом, с точки зрения теории принятия решений за-дача торга заключается в нахождении такой альтернативы, которая обеспечивала бы эффективное по Парето равновесие Нэша игры участников договора, удовлетворяющее условиям индивидуальной рациональности. Множество таких равновесий может интерпретироваться как область компромисса - множество альтернатив (или распределений полезности), с которым априори согласны все стороны договора. Конкретные параметры договора - точка компромисса, принадлежащая области компромисса, определяется в теории принятия решений аксиоматически, то есть - введением ФКБ, удовлетворяющей тем или иным свойствам. Процедуру выбора точки компромисса назовем механизмом компромисса. В теоретико-игровых моделях задача определения параметров договора заключается в нахождении такой альтернативы, которая обеспечивала бы эффективное по Парето равновесие иерархической игры участников договора, удовлетворяющее условиям индивидуальной рациональности. Множество таких равновесий (4)-(6) является областью компромисса, а выбор точки компромисса определяется используемым механизмом компромисса. Механизмы компромисса в теоретико-игровых моделях договорных отношений могут, в том числе, использовать аксиоматические подходы теории принятия решений. Следовательно, ключевым отличием теоретико-игровых моделей договорных отношений, рассматриваемых в настоящей работе, от задачи о торге (исследуемой в теории принятия решений), является то, что в первом случае договор моделируется иерархической игрой, в которой стоимость договора является функцией от действий исполнителя.