4.5. МОДЕЛИ ОГРАНИЧЕННОЙ РАЦИОНАЛЬНОСТИ

Рассмотрим одного агента (в одноэлементных моделях индекс, обозначающий номер агента, будет опускаться), интересы которого отражены его целевой функцией fy), определенной на множестве возможных действий A: y е A, f: А ® Ж1. Тогда множеством рационального выбора будет множество действий, доставляющих максимум целевой функции (см. также раздел 4.1):

Cf), А) = Arg max fy).

У<ЕА

Например, в экономико-математических моделях в качестве функции полезности (целевой функции фирмы) во многих случаях выступает прибыль фирмы.

Принцип (1) принятия решений соответствует так называемой классической рациональности. В работах Г. Саймона было предложено рассматривать так называемые модели ограниченной ра-циональности (ОР), то есть отказаться от предположения о стремлении агента к достижению абсолютного максимума, заменив его предположением о стремлении к достижению определенного уровня полезности, быть может, зависящего от величины оптимума [41, 51].

В настоящем разделе описывается ряд моделей ограниченной рациональности и обсуждается влияние предположений о рациональном поведении агентов на решения задач институционального управления ОС.

Введем следующее предположение о целевой функции и допустимом множестве: пусть f ¦) непрерывна и вогнута, а множество А выпукло и компактно. Очевидно, что в рамках этих предположений множество C0(/(¦), А) непусто.

Обозначим y = arg max fy). Для простоты будем считать, что

уеА

fy*) ^ 0.

Следуя [30], введем в рассмотрения три типа ограниченной рациональности.

Первый тип ОР.

Cf ¦), А, U ) = {у е А |fy) > U }.

Второй тип ОР. Предположим, что агент готов смириться с потерями фиксированной величины e > 0 по сравнению с абсолютным максимумом, то есть множеством рационального выбора можно считать

Cf, A, e) = {y е A | fy) >fly*) - e}.

Отметим, что этот способ учета «нечувствительности» и порогов различения агентов наиболее распространен в теоретико- игровых моделях, и при использовании в построении обобщенных решений позволяет регуляризовывать критерии оптимальности и добиться устойчивости решения по параметрам модели [9, 12, 23, 28]. Кроме того, данный тип представления рационального поведения согласован с моделями ОС, учитывающими неопределенность [33], в том числе - неопределенность целей агента.

Третий тип ОР. Предположим, что агент готов смириться с потерями, составляющими не более чем фиксированную часть 8 е (0; J] от максимального выигрыша, то есть множеством рационального выбора можно считать

Cf), A, 8) = {y е A | fy) > (J - 8) fy*)}.

Неравенство в (4) можно записать в эквивалентном виде: fy*) - fy) ? 8fly*).

Введенные три типа ограниченной рациональности охватывают большинство встречающихся на практике задач управления ОС. Исследуем свойства множеств (2)-(4).

В рамках введенных предположений " U > 0, e > 0, 8 е (0; J] имеет место [30]:

C0 с CJ, C0 с C2, C0 с C3;

" U' > U , e' > e, 8' > 8 выполнено

CJ(fl), A, U ) с-CJ(f(), A, U'), C2f( •), A, e) с Cf), A, e'), Cf), A, 8) c- C3 (/(•), A, 8');

CJ(f(•), A, 0) = Cf), A, 0) = Cf), A, 0) = Cf), A); _

для любого допустимого значения любого параметра (U > 0, e > 0, 8 е (0; j]) существуют значения двух других параметров, при которых множества (2)-(4) совпадают.

Последнее свойство позволяет говорить об эквивалентности в определенном смысле трех типов ОР, однако, использование в

моделях определенного типа ОР должно быть обусловлено спецификой конкретной модели (например, для первого типа, в отличие от второго и третьего, не требуется знания абсолютного максимума и т.д.).

Отметим, что существует целое семейство целевых функций, имеющих одно и то же множество максимумов (1). Так, из теории полезности известно [44, 46], что целевая функция определена с точностью до положительного линейного преобразования, то есть для любого числа a и любого положительного числа b функции f( ) и g(y) = a + bfy) имеют одинаковые множества максимумов: СШ А) = C0(g( ), А).

В то же время, не все типы ограниченной рациональности обладают свойством инвариантности множества выбора относительно положительных линейных преобразований.

Рассмотрим, как изменится определение равновесия Нэша, сформулированное первоначально для классической рациональности, в рамках того или иного типа ограниченной рациональности.

Напомним, что равновесие Нэша в предположении классической рациональности определяется следующим образом (см. также предыдущий раздел) [16, 48, 50]. Для каждого агента вычисляется его наилучший ответ на ту или иную игровую обстановку:

BR1(y-i) = Arg max f(yb уД y_t е А.ь i е N.

у^А

Совокупность наилучших ответов определяет отображение BR(y) = (BR1(y-1), ..., BRn(y-n)), у е А'. Равновесием Нэша называется точка x е А', удовлетворяющая уравнению x = BR(x). Следовательно, множество равновесий Нэша есть

(5) E0N = {x е А' I x = BR(x)}.

Определим для заданных уровней индивидуальной полезности {Ui }г- е N следующие множества:

B( Пг) = {у е А' |f(у) > йг },

BR1(y-1, Ui) = {У е A, I f(y,, y.) >Ut }, i е N, BR(y, U) = (BRj(y.j, Ux), ..., BRn(y.n, Un)), где U = (Ui )i е N. Равновесием Нэша в рамках ОР1, следуя [30], будем считать х = BR(x, U ), то есть

EN(U) = IBr(U) = { х е A' I "i е N f(x) > Uit},

ieI

то есть множество векторов действий агентов, каждый из которых гарантирует каждому из агентов соответствующий уровень полезности.

В рамках второго типа ограниченной рациональности классическое равновесие Нэша переходит в определение e-равновесия Нэша [16, 50]:

E2N(e) = {y е A' I " i е N, "У, е At

f(yN, y.N) >f(y, y_N) - e},

где e = (ej, ez ..., en).

Аналогично определяется равновесие Нэша и в рамках третьего типа ОР:

E3( 8) = {y е A' I "i е N, "У, е At

f(yN, y-N) > (J - 8i)f(y, y-N)},

где 8 = (8j, 82, ..., 8n).

Очевидно, что множества (7) и (8) содержат в себе «классическое» множество равновесий Нэша (5).

Рассмотренные в настоящем подразделе модели ограниченной рациональности, во-первых, позволяют обобщить результаты разделов 4.2 и 4.4 по постановке и решению задач институционального управления (управления ограничениями деятельности). Так как данные обобщения являются чисто "техническими", приводить их в настоящей работе мы не будем. Во-вторых, модели ограниченной рациональности будут использованы в пятом разделе при постановке и решении задач управления нормами деятельности.