Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Этот тип движения возбуждал у наших предков наибольший интерес, потому что был связан с желанием «удлинять» свои руки за счёт камней, палок, копий, стрел, ядер, снарядов, ракет и т.п.
движущихся в поле земного тяготения предметов.В большинство своём, эти устремления были связаны с неотвратимым желанием умерщвлять представителей животного мира. Соплеменники были отнюдь не исключением.
Проблема пропитания, власти и территорий во все времена решалась далеко не дипломатическими методами. Экспериментальные исследования движения тел, брошенных под углом к горизонту, начались за долго до возникновения первых научных потуг что-либо описать и посчитать.
Война, как это ни может показаться странным, со времён австралопитеков и до настоящего продвинутого времени была, есть, и к сожалению, будет одним из основных приводных ремней научно-технического прогресса.
Самые передовые научно-технические достижения цивилизации людской всегда были связаны с милитаристическими устремлениями. В этом смысле рассматриваемому далее типу движения, можно сказать, «повезло», оно постоянно находилось на острие «прогресса». Достаточно упомянуть ещё раз такие имена как Аристотель, Архимед, Леонардо да Винчи, Коперник, Г алилей, Ньютон, Наполеон Бонапарт, чтобы проникнуться исторической значимостью этого типа движения.
Тело, брошенное в поле земного тяготения с начальной скоростью v0, направленной под углом а к горизонту будет двигаться по криволинейной траектории, лежащей в плоскости, перпендикулярной поверхности земли.
Существенно отметить, движение протекает при постоянном по модулю и направлению ускорении ? Это даёт возможность разложить криволинейное движение на два более простых: равномерное вдоль горизонтальной оси т.к.
gx = 0 и ускоренное по вертикальной оси, где проявляется двояко ускорение свободного падения (рис. 1.14).Движение исследуемой точки относительно вертикальной оси из начальной точки О в точку С - равнозамедленное, а из точки С в точку В - равноускоренное с ускорением свободного падения ?
В начальный момент времени при t = 0 имеем: х0 = 0, у0 = 0, v0x = v0•cosа, v0y = v0•sinа, ax = 0, ay
= - g.
Для проекций скорости в любой момент времени, например в п , , . „ л ,
г Рис. 1.14. Тело, брошенное под углом а к горизонту
точке М, движения можно записать следующие уравнения:
jvx (t) = v0 cos «s [Vy (t ) = V0 sin а- gt.
Модуль вектора скорости определится как:
|V 4vj! cos2 а + (v0 sin а - gt)2 = ^vj; cos2 а + (v^ sin2 а - 2v0 sin аgt + g2t2) ,
1-І I 2i 2 ¦ 2 і ¦ 2 2
v = Vvo(cos a + sin aj-2v0gtsina + gt .
Положение вектора скорости определим, используя свойства прямоугольного треугольника, построенного на векторе скорости и его проекциях
tgP =
v0 sin a - gt
, ж в = arctg
vx
Уравнения движения запишем, используя особенности равномерного перемещения точки по горизонтали и равноускоренного по вертикали
x(t) = v0 tcos a, y(t) = v01 sin a - —
Время подъёма тела в верхнюю точку траектории С определим при условии равенству нулю с этой тоске скорости: vy = 0
v0 sin a
v0 sin a- gtC = 0, ж tC =—10 .
g
Определим далее полное время полёта
т=2tC=Ащ-.
g
При подстановке времени полёта т в уравнение координаты получим максимальную дальность броска
= 2v0 sin a cos a = v0 sin 2a
xmax .
g g
Из последнего уравнения, в частности, следует, что при прочих равных условиях максимальная дальность броска будет иметь место при a = 450, т.к. в этом случае 2a = п/2, sin 2a = 1.
Максимальная высота подъёма определится путём подстановки времени в уравнение вертикальной координат
2 • 2
v0 sin a g v0 sin a
у max = v0 sin a“ ,
2 • 2 v0 sin a
g 2 g2
y max
°g
Уравнение траектории получается при исключении времени из уравнений движения. Из первого уравнения x
t = ,
v0 cos a
при подстановке этого значения t во второе уравнение, получим
x g x2 g 2
y = v0sin a 2- = xtga - —2 2- x .
v0 cos a 2 v0 cos a 2v0 cos a
ввести обозначения: tga = a, gj (2v°cos° a)= b , то уравнение траектории примет более классифицируемый вид
y = ax-bx2 .
Рассмотрим пример бомбометания фронтового штурмовика по наземной цели.
Фронтовой бомбардировщик пикирует по прямой, составляющий угол a = 45 с горизонтом. В целях безопасности экипажа бомбы должны покидать самолёт на минимальной высоте полёта 1000 м. На каком расстоянии от цели необходимо начать бомбометание при скорости пикирования 850 км/час?
- В начальный момент времени сбрасываемая бомба имеет скорость бомбардировщика, которую можно представить двумя составляющими.
Вертикальная составляющая характеризует свободное падение бомбы до поверхности земли, горизонтальная составляющая скорости постоянна по модулю и определяет перемещение вдоль оси Ох.
- Запишем кинематические уравнения, определяющие движение бомбы
- vx = vcos a;
- vy = vsin a + gt;
- x = vtcos a;
, , gt2
- y = vtsin a+——.
Решение
3. Из четвёртого уравнения системы определим время полёта бомбы до цели t1
и . . at? .2 vsira. 2H _
H = vt,Sinx^^-L; ^ t2+ t, = 0 .
2 g g
g g
4. Третье уравнение системы даёт возможность определить искомое расстояние
v2cos/sira Г1 ‘ Л
v2sir2 a + 2H
L = vt,cosu
2g \
g
Ещё один актуальный для автомобилистов пример.
Между сдвоенными шинами грузового автомобиля застрял камень на расстоянии 0,8 R от центра колеса радиусом R = 1м. При скорости автомобиля 72 км/час камень покидает колесо. На каком минимальном расстоянии от грузовика должен двигаться легковой автомобиль, чтобы в него камень не попал?
vsira
ti =
+
2gH
v2sirfc
s 1335
1+
-1
- Камень будем считать телом, брошенным под углом a к горизонту, причём наиболее далеко булыжник полетит, когда этот угол будет составлять 450 к горизонту, потому что
V;sir2a
Xmax =~^~g .
- Линейная скорость камня в начальной точке его полёта определится как
v0 = —Q8R = 0,8vc = 16 / .
0 R c
- Безопасное расстояние до легкового автомобиля в этом случае будет равно
162
Xmin = -6 = 256 .