§ 7.7. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Mi = ±Ftd. (7.7.2)

Момент силы, вращающий тело вокруг данной оси против часовой стрелки, считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Момент инерции тела

В формулу (7.7.1) входит момент инерции тела J. Момент инерции тела J равен сумме моментов инерции AJ- отдельных малых элементов, на которые можно разбить все тело:

(7.7.3)

і

Так как момент инерции материальной точки

AJ^Amtf, (7.7.4)

где Атпі — масса элемента тела, а г, — его расстояние до оси вращения (см. рис. 7.33), то

J = J A mtrf . (7.7.5)

385

13-Мякишев, 10 кл.

Момент инерции тела зависит не только от массы тела, но и от характера распределения этой массы. Чем больше вытянуто

Рис. 7.35

тело вдоль оси вращения, тем меньше его момент инерции, так как тем ближе к оси вращения расположены отдельные элементы тела. Очевидно также, что, изменив ось вращения тела, мы тем самым изменим и его момент инерции. У твердых тел момент инерции относительно данной оси — постоянная величина. Поэтому изменение момента импульса может происходить лишь за счет изменения угловой скорости. Соответственно уравнение (7.7.1) можно записать в виде:

jft = М. (7.7.6)

Читается это уравнение так: произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение тела равно сумме моментов (относительно той же оси) всех внешних сил, приложенных к телу.

Уравнение (7.7.6) показывает, что при вращении тела момент инерции играет роль массы, момент силы — роль силы, а угловое ускорение — роль линейного ускорения при движении материальной точки или центра масс.

В том, что угловое ускорение определяется действительно моментом силы, т. е.

Для того чтобы убедиться в том, что угловое ускорение определяется именно моментом инерции, а не массой тела, нужно иметь в распоряжении тело, форму которого можно легко изменять, не меняя массы. Велосипедное колесо здесь непригодно. Но можно воспользоваться своим собственным телом. Попробуйте закрутиться на пятке, оттолкнувшись от пола другой ногой. Если вы при этом прижмете руки к груди, то угловая скорость окажется большей, чем если вы раскинете руки в стороны. Эффект будет особенно заметным, если в обе руки взять по толстой книге.

Моменты инерции обруча и цилиндра

Найти момент инерции тела произвольной несимметричной формы довольно сложно. Проще его измерить опытным путем, чем вычислить.

Мы ограничимся вычислением момента инерции тонкого обруча, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр. Если масса колеса сосредоточена главным образом в его ободе (как, например, у велосипедного колеса), то такое колесо приближенно можно рассматривать как обруч, пренебрегая массой спиц и втулки.

Разобьем обруч на N одинаковых элементов. Если т — масса всего обруча, то масса каждого элемента Дmi = ^ . Толщину

обруча будем считать много меньшей ее радиуса (рис. 7.36). Если число элементов выбрать достаточно большим, то каждый элемент можно рассматривать как материальную точку. Поэтому момент инерции произвольного элемента с номером і будет равен:

Д Jt = Дт;Д2. (7.7.7)

Подставляя выражение (7.7.7) в формулу (7.7.5) для полного момента инерции, получим:

N

(7.7.8)

J= Д^Д miR2 = mR2.

Рис. 7.36

Здесь мы учли, что расстояние R для всех элементов одинаково и что сумма

масс элементов равна массе т об-

I

руча.

13*

387

Получился очень простой результат: момент инерции обруча равен произведению его массы на квадрат радиуса.

полого тонкостенного цилиндра при его вращении вокруг оси симметрии.

Вычисление момента инерции сплошного однородного цилиндра массой тп и радиусом R относительно его оси симметрии представляет более сложную задачу. Мы приведем лишь результат расчета: (7.7.9)

J =\ mR2. Следовательно, если сравнить моменты инерции двух цилиндров одинакового размера и массы, один из которых полый, а другой сплошной, то у второго цилиндра момент инерции будет в два раза меньше. Это связано с тем, что у сплошного цилиндра масса расположена в среднем ближе к оси вращения.

Мы познакомились с уравнением вращательного движения твердого тела. По форме оно похоже на уравнение для поступательного движения твердого тела. Дано определение новых физических величин, характеризующих твердое тело: момента инерции и момента импульса.