2.7. Потенциал электростатического поля. Связь напряженности с потенциалом

Потенциальность электростатического поля позволяет ввести еще одну его характеристику, тесно связанную с работой, которую это поле может совершать.

где dW — приращение энергии заряда в процессе его перемещения. Работа определяется положением начальной и конечной точек перемещения , а именно разностью энергий заряда q в этих точках. Величина энергии зависит не только от поля в этой точке, но и от величины заряда q, в нее внесенного.

Назовем потенциалом j точки поля потенциальную энергию единицы заряда, помещённого в эту точку:

. Тогда приращение потенциала .

(2.45)

Потенциал не будет зависеть от величины пробного заряда, и, следовательно, будет характеризовать точку поля, будет являться характеристикой поля в этой точке.

Сопоставив равенства (2.44) и (2.45) получим

то есть изменение потенциала можно определить как взятую с противоположным знаком работу по перемещению единичного пробного заряда. Для электростатического поля, так же, как и для поля тяготения, абсолютное значение потенциала в данной точке несущественно для нахождения работы по перемещению заряда.

Интегрируя (2.46), нетрудно найти работу А по перемещению заряда между двумя точками поля с потенциалами j₁ и j₂:

Здесь U = (j₁ – j₂) — напряжение между двумя точками поля, которое равно взятой с обратным знаком разности потенциалов этих точек. В отличие от напряженности, которая является силовой характеристикой поля, потенциал — это энергетическая характеристика поля. Потенциал — скалярная величина.

Так же, как сила в механике связана с энергией (работой), так и напряженность связана с потенциалом. Остановимся на этой связи.

Пусть электростатическое поле задано силовыми линиями (см. рис. 2.13). Заряд перемещается из т. A в т. B по . При этом поле производит работу

,

(2.48)

или, как следует из чертежа,

где dr проведено вдоль силовой линии, и из точки A на него опущен перпендикуляр. Учитывая (2.46), получим:

откуда следует формула связи между напряженностью и потенциалом:

,

(2.51)

где — изменение потенциала на единицу длины, взятой по силовой линии, а E_r — проекция вектора напряженности на координату r. Знак минус означает, что положительному значению напряженности соответствует отрицательное значение dj, то есть в направлении силовых линий потенциал убывает. Выражение (2.51) получено для случая, когда координата r направлена по вектору напряжённости, и проекция на эту координату равна модулю вектора . В общем же случае в левой части (2.51) вместо модуля следует записывать проекцию вектора на соответствующую ось координат: E_x = – ¶j/¶x; E_y = – ¶j/¶y; E_r = – ¶j/¶r и т. д.