3.5. Вычисление напряженности магнитного поля прямого тока

Закон Био — Савара дает возможность вычислить напряженность магнитного поля, либо магнитную индукцию, созданную током, текущим по проводнику любой формы. Для этого нужно лишь просуммировать действие всех отдельных элементов тока , на которые можно разбить любой проводник.

Рассмотрим случай бесконечно длинного прямого провода, изображенного на рис. 3.5. Весь провод вначале разбивают на элементы , два из которых выделены на рисунке. Направление элементов совпадает с направлением тока. Найти напряженность, созданную одним из элементов в точке А, где она нас интересует, можно, пользуясь законом Био — Савара. Для этого из начала вектора следует провести радиус-вектор в точку А, и указать угол a, синус которого входит в закон. Направление поля, созданного этим элементом в точке А, находится правилом буравчика. Затем следует передвигать элемент вдоль провода, проверяя каждый раз направление соответствующего .

Легко видеть, что в точке А, где требуется найти напряженность, векторы , созданные всеми элементами , направлены одинаково, поэтому

H==.

(3.19)

Пределы интегрирования пока расставить затруднительно, поскольку под знаком интеграла три переменных. Сведение их к одной можно произвести разными способами. Мы рассмотрим один из них.

Прежде всего стоящее под знаком интеграла произведение двух переменных dl и sinα дает dS — элемент окружности радиуса » r с центром в точке А, где ищется напряженность. Проведя через эту точку прямую, параллельную , мы убедимся, что этот элемент опирается на угол, который можно обозначить через da. Значит:

dl sinα = dS = rdα и H = .

(3.20)

Опустив теперь перпендикуляр на проводник с током и обозначив его длину rsina буквой а, получим интеграл с одной переменной — углом a:

H = , и окончательно H = .

(3.21)

Пределы интегрирования взяты для случая, когда проводник бесконечный.

H = .

(3.22)

Выражение для напряженности прямого бесконечного провода (3.21) может послужить для установления единицы измерения напряженности. В СИ она носит название, совпадающее с ее размерностью: ампер на метр (А/м). О единицах измерения магнитной индукции мы будем говорить позднее.

Разобранный выше пример расчета магнитного поля с помощью закона Био — Савара типичен, на его основе решаются многие задачи, в том числе и часто встречающиеся на практике. Существует еще одна возможность нахождения напряженности магнитного поля — теорема о полном токе. Она имеет ограниченное применение, закон же Био — Савара может быть использован в любом случае, правда, часто с серьёзными математическими затруднениями.