3.8. Вычисление напряженности магнитного поля тора и соленоида

Теорема полного тока очень важна потому, что наиболее полно и вместе с тем лаконично выражает основное свойство магнитного поля — его непотенциальность. Помимо этого, в целом ряде случаев она имеет прикладное значение: с помощью теоремы легко вычисляется напряженность некоторых полей.

В качестве примера рассмотрим тороидальную катушку (рис. 3.10). Если по тороиду течет ток i, то для контура в виде окружности произвольного радиуса r, проходящей внутри витков, теорема полного тока дает

,

(3.33)

где N — число витков тороида, а iN — полный ток, пересекающий контур. Так как распределение токов относительно оси тороида симметрично, то напряжённость на одинаковых расстояниях от оси одна и та же. Поэтому H выносится за знак интеграла, а круговой интеграл от dl даёт длину окружности:

H?2pr = iN и .

(3.34)

Рассматривая окружности радиусов R₁ и R₂, мы легко убедимся, что для них

.

(3.35)

В первом случае нуль получается потому, что контур R₁ не охватывает никакого тока. Во втором случае площадь, ограниченную контуром радиуса R₂, пересекает суммарный ток iN, текущий в одном направлении и такой же ток, но текущий в противоположно направлении. Сумма их, очевидно, равна нулю.

Тороид отличается от прямого соленоида только тем, что ось его свёрнута в виде окружности. Поэтому выражение (3.34) будет пригодно и для вычисления напряжённости магнитного поля прямого соленоида, если 2πr заменить длиной контура l. Тогда

,

(3.36)

где n есть число витков на единицу длины или плотность намотки, а произведение iN называется числом ампер-витков.

Полученный результат справедлив лишь в случае достаточно длинного соленоида, т.е. тогда, когда можно пренебречь искажениями поля, возникающими вблизи концов. В противном случае придется прибегнуть к закону Био —Савара, интегрирование которого связано с трудностями замены переменных и интегрированием векторных величин. Поскольку трудности носят чисто математический характер, оставим эти вопросы на практические занятия.