§ 4.5. УРАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ
Найдем уравнение, описывающее колебательный процесс в любой точке пространства при распространении гармонической волны. Для определенности будем рассматривать волну, бегущую по длинному тонкому резиновому шнуру.
Ось X направим вдоль шнура, а начало отсчета свяжем с левым концом шнура (см.
рис. 4.11). Смещение любой колеблю-щейся точки шнура от положения равновесия обозначим буквой s. Для описания волнового процесса необходимо знать значение s в любой точке шнура в любой момент времени, а следовательно, знать вид функции s = s(x, t).Заставим конец шнура (точка х = 0) совершать гармонические колебания с частотой со. Колебания этой точки будут происходить по закону
s = smsincot, (4.5.1)
если начальную фазу колебаний считать равной нулю. Здесь s — амплитуда колебаний (рис. 4.14, а).
Рис. 4.14
Колебания распространяются вдоль шнура (оси X) со скоростью и и в произвольную точку шнура с координатой х придут спустя время (4.5.2)
X
г = -.
v Эта точка также начнет совершать гармонические колебания с частотой со, но с запаздыванием на время т (рис. 4.14, б). Если пренебречь затуханием волны по мере ее распространения, то колебания в точке х будут происходить с той же амплитудой sm, но с другой фазой: [•HI
(4.5.3)
s = sm sin [со(t - -с)] = s sin Это и есть уравнение бегущей волны , распространяющейся в положительном направлении оси X. В случае, когда начальная фаза колебаний в точке х = 0 равна не нулю, а произвольной величине ф0, уравнение бегущей волны запишется так: (4.5.4)
+
Фо
e„ sm
т
МН) Амплитуда колебаний sm называется амплитудой волны. Величину, стоящую под знаком синуса, называют фазой волны. В общем случае фаза волны равна:
Ф = со( -^+Ф0. (4.5.5)
Разумеется, вместо синуса при записи уравнения бегущей волны мы могли бы использовать и косинус. Замена синуса на косинус эквивалентна изменению начальной фазы на л/2.
Выражение (4.5.5) для фазы волны можно преобразовать, если выразить циклическую частоту колебаний со через часто-ту v или период Т, а скорость волны v заменить ее значением согласно формуле (4.3.2). Для случая ф0 = 0 получим:
Уравнение (4.5.3) бегущей гармонической волны примет при этом форму:
s = sm sin 2л(4.5.7)
В этой форме записи отчетливо видно, что функция s(x, t) обладает периодичностью двоякого рода.
Она периодична по времени при фиксированном х (период равен периоду колебаний Т, см. рис. 4.14) и периодична по пространству при фиксированном моменте времени (период равен длине волны X, см. рис. 4.11). Это означает, что при замене t —» t + Т или х —» х + X смещение s от положения равновесия согласно уравнению (4.5.7) остается одним и тем же.Итак, в бегущей волне все точки среды (участки шнура) совершают вынужденные колебания с одним и тем же периодом, но с различными фазами. Две точки с координатами хх и х2 имеют разность фаз
Дф = ф(х2) - ф(ж1) = 2л—-. (4.5.8)
При х2 ~ = X разность фаз равна 2л. Точки колеблются син-
фазно. Если х2 - = |, то колебания происходят в противо- фазе.? Надо отметить, что строго гармонических волн не существует. Из-за неизбежных потерь механической энергии амплитуда колебаний постепенно уменьшается по мере распространения волны от источника возбуждения колебаний. Можно приближенно говорить о гармонической волне в том случае, когда затухание бегущей волны на одной длине волны очень мало и по всей длине шнура укладывается много длин волн. Уравнение (4.5.3) описывает процессы не только в поперечной волне, но и в продольной, например в длинном упругом стержне. При этом s(x, t) по-прежнему имеет смысл смещения колеблющихся частей стержня от положения равновесия. Эти смещения в продольной волне происходят вдоль направления распространения волны (оси X).