Уравнения Лауэ для амплитуды рассеянной волны
Нас интересует интенсивность излучения, рассеянного пространственным распределением электронов внутри каждой элементарной ячейки кристалла.
Метод Лауэ состоит в суммировании вкладов от элементарных волн, рассеянных от каждого элемента кристалла.
Предположим, что отклик кристалла является линейным, (это соответствует малой интенсивности волны), тогда частота отраженной волны, порожденной ответной реакцией кристалла, равна частоте w падающей волны [1]. Модуль волнового вектора волны, распространяющейся в вакууме (рис. 4.18), связан с частотой соотношением w = ck, так что k’ = k. Сам волновой вектор k нормален к плоскостям равной фазы.
Рис. 4.18. Волновые векторы падающей и рассеянной волн
Компонента электрического поля волны в направлении оси x может быть записана, как
(4.4)
Эта волна взаимодействует с рассеивающим центром, находящимся в точке r, в результате чего образуется рассеянная волна:
, (4.5)
где С – константа, r – радиус-вектор точки наблюдения.
Это выражение является решением радиального волнового уравнения
. (4.6)
Получим амплитуду суммарной рассеянной волны в точке с радиус-вектором R, проведенном из начала координат O внутри кристалла в точку наблюдения (рис. 4.19).
Рис. 4.19. К определению вектора r
Расстояние между рассеивающим центром и точкой наблюдения равно
. (4.7)
Полный пространственный фазовый множитель рассеянной волны с учетом выражений (4.5) и (4.7) тогда запишется так:
.
Так как k’=k, а направление вектора k’ совпадает с направлением R, то
krcos(r, R) = k’rcos(r, k’) = k’r. (4.9)
Тогда фазовый множитель (4.8) можно записать так:
, (4.10)
где через Dk обозначен вектор рассеяния (рис. 4.20):
Dk = k’ – k. (4.11)
Окончательно для волны, рассеянной центром в точке rmnp, можно записать:
, (4.12)
где с достаточной точностью в знаменателе r заменено на R.
Рис. 4.20. К определению вектора рассеяния Dk
Суммирование выражения (4.12) по всем точкам решетки даст полное рассеяние волны в данном направлении. Типичным случаем является рассеяние на непрерывном распределении электронной плотности по всему кристаллу. Так как рассеяние на элементе объема кристалла dV пропорционально локальной концентрации электронов n(r), то амплитуда рассеяния пропорциональна интегралу
, (4.13)
где вектор r принимает непрерывные значения внутри объема V кристалла.