§ 3.9. ЗАКОН ГУКА

| Выясним, от чего зависит сила упругости.

Зависимость силы упругости от деформации установил экспериментально современник Ньютона английский ученый Роберт? ШШ////////У.

•^упр |

О

х —

X

Гук.

mg

а)

б)

Рис. 3.20

Рассмотрим, как можно установить этот закон для деформации растяжения резинового шнура.

Возьмем резиновый шнур; расположив его вертикально, закрепим верхний конец. Началь-ная длина шнура 10 (рис. 3.20, а). Координатную ось X направим вдоль шнура вертикально вниз, а начало координат совместим с нижним концом нерастянутого шнура.

Прикрепим к нижнему концу шнура чашку с находящимся на ней грузом (рис. 3.20, б). Шнур растянется, и его длина станет равной I, а координата нижнего его конца примет значение х. Сила упругости F растянутого шнура уравновешивает силу тяжести F.г = mg, действующую на чашку с грузами, т. е. Fynp = mg. Удлинение шнура АI = I - 10 = х.

Меняя число гирек на чашке, мы можем изменять длину, а следовательно, и удлинение (деформацию) шнура AL Опыт показывает, что модуль силы упругости при не слишком больших удлинениях прямо пропорционален изменению длины шнура.

Этот вывод справедлив не только для резинового шнура. В таблице 4 представлены результаты лабораторного исследования зависимости силы упругости от удлинения стальной проволоки (ее начальная длина 120 см, а диаметр 0,3 мм).

Таблица 4 AZ, мм 0,9 2,0 2,8 3,8 4,7 5,7 6,6 7,5 ^ущ» Н 10 20 30 40 50 60 70 80

На рисунке 3.21 изображен экспериментальный график этого исследования. В пределах допущенных погрешностей измерения график можно считать прямой линией. Значит, сила упругости F здесь тоже пропорциональна удлинению АI.

8 ДI, мм

Рис. 3.21

Таким образом, при упругой деформации растяжения (или сжатия) модуль силы упругости прямо пропорционален модулю изменения длины тела. В этом и состоит закон Гука.

Записывается закон Гука так:

F = k\M\ или Fvn = й|4 (3.9.1)

Коэффициент пропорциональности k называют коэффициентом упругости или жесткостью.

В СИ жесткость выражается в ньютонах на метр (Н/м). Жесткость зависит от материала, из которого изготовлено тело, от его размеров и формы.

Учитывая, что координата х тела и проекция (Fyjip)x силы упругости на ось X имеют противоположные знаки, можно записать: (3.9.2)

(^упр)* = ~kx- Закону Гука подчиняются деформации, возникающие в стержнях из стали, чугуна, алюминия и в других твердых телах, а также пружинах. Закон Гука выполняется и для деформации сжатия. Формулы (3.9.1) и (3.9.2) справедливы и в этом случае.

На рисунке 3.22 приведен график зависимости модуля силы упругости от модуля деформации, а на рисунке 3.23 — график зависимости проекции силы упругости CFynp)j от координаты х.

Обратим внимание на то, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При больших деформациях сила упругости перестает быть пропорциональной изменению длины, а при достаточно больших деформациях тело разрушается.

упр

(¦'упр) Х 1 О Когда деформации малы, силы упругости удобно определять не по деформации, а по тому ускорению, которое эти силы сообщают телам. Так, например, можно определять натяжение нитей, вере-вок и т. д. Если же тело покоится, то модуль силы упругости, дей-ствующей на него, можно определить из условия равенства нулю векторной суммы всех сил, приложенных к телу. Например, силу реакции, с которой горизонтальная опора действует на неподвиж-ное тело, легко определить из условия, что эта сила должна при равновесии тела быть равной по модулю силе тяжести.

Сила упругости в отличие от силы тяготения зависит не от расстояния между различными телами, а от изменения расстояния между частями одного и того же тела.