2.3. Разработка методов классификации качества и пригодности технологических процессов 2.3.1. Дискриминантный анализ в задаче классификации с учетом коррелированности показателей  

Наблюдения за выполнением экспертизы по картам контроля качества определяются количеством данных заключений xi,x2,...,xp, которые представляют вектор:

Х=(хьх2,...,хр).              (2.43)

62

Предполагается что группа испытуемых образцов с одинаковым уровнем качетсва характеризуется многомерным нормальным распределением   W^rNim^J)^),   где  тк—(т^\, mk2,...,mkp)   -   математическое

ожидание W^. a D;

ст

kij

дисперсионная матрица W^.

В случае классификации на две группы ошибки могут быть в случае если: X принадлежит W2, но его относят к W\, и в результате будет совершена ошибка, вероятность которой обозначим Р(1|2); X принадлежит W\„ но его относят к W2, и в результате будет совершена ошибка, вероятность которой обозначим Р(2\\). Иллюстрация ошибок классификации показана на рис.2.2.

Вероятности ошибочной классификации

x-W.

x-Wn

Рис. 2.2.

Дискриминантная функция zпредставляет линейную комбинацию результатов наблюдений:

z=ql\X\+ а2х2 + ... + 0CnXn,              (2.44)

где ocj - набор постоянных весовых коэффициентов. Дискриминантную функцию можно рассматривать как балл, полученный при оценке качества и наличии весов для каждого уровня качества.

Процедура классификации заключается в подборе константы с и отнесении Хк }f|, если zgt;c; и к W2, если zlt;c.

63

к  определению  значений   щ  и  с,  для  которых   вероятность  ошибочной классификации минимальна. В связи с этим возникают следующие вопросы:

1. Какие веса взять для лучшей классификации?

2. Какое пороговое значение с выбрать для разделения «качественный», «некачественный»?

В общем случае эта задача является двухкритериальной оптимизационной. Ищется значение, которое максимизирует разность математических ожиданий и одновременно минимизирует дисперсию разности. В качестве свертки критериев используется расстояние Махалонобиса:

А2=(щ-т11(245)

Dz

На основании введенного критерия, двухкритериальная задача переходит в обычную задачу оптимизации, т.е. выбора значений а;, минимизирующих значение функции А2.

Решение этой задачи оптимизации является решением системы линейных уравнений:

а,а J! + а2а12 +... + ара1р =ти- /и21

ajO"21 + СС2С722 + •" + ap(J2p= W21 — т22

(2.46)

La,apl + а2ар2 +... + apGpp= тр1 - тр2

После определения а; наблюдаемому вектору X ставится в соответствие значение дискриминантной функции z.

Константа с выбирается из соображений минимизации вероятности ошибочной классификации. Сумма вероятностей ошибочных классификаций Р(2\\)+Р(\\2) минимальна при выборе константы с:

Mz, + Mz^

с =              Ї              ?-.              (2.47)

64

Таким образом, найденные из соотношений (2.45) и (2.47) значения otj и с полностью решают задачу классификации.

В качестве оценки влияния коррелированности ответов рассмотрим пример для четырех уровней. Пусть разность математических ожиданий баллов тестируемых образцов для двух групп по каждому уровню равна:

ДМ=(1, 1, 1, 1).              (2-48)

И корреляции между результатами оценки показателей также отсутствует, тогда для весов заданий справедливо:

Л=(1, 1, 1, О,              С2-49)

т.е.

D =

10              0              0

0     1              0.2              0

0    0.2              1              0

0     0              0              1

;(2.50)

Т.е. в данном случае только между заключениями по оценке качества второго и третьего уровня имеется корреляция 0,2. В этом случае решение уравнений для весов будет:

Л=(1, 0,83, 0,83, 1).              (2-51)

В     данном    случае    видно     существенное     снижение    весов    для

коррелированных заданий.

Однако   в   реальной   ситуации   необходимы   более   точные   разности

математических ожиданий правильных заключений на различных уровни

качества.

65

Вероятности положительных результатов

РЬ

о

2345

Pi

Рис. 2.3.

Пусть экспертиза содержит по 25 опросных карт каждого уровня N=(25, 25, 25, 25). Всего оценок - 100. В качестве уровней качества взяты значения Р=(2, 3, 4, 5). В качестве уровня качества 0i=3, 02=4. Кроме того выполнена нормировка весов для того, что максимальных балл по экспертизе был равен 100. На рис.2.3. приведены графики логистических кривых для выбранных параметров групп и параметров качества.

Так, для некоррелированных ответов значения весов будут равны:

Л=(0,42, 0,62, 1,19, 1,76) и с=34.              (2-52)

Для той же корреляционной матрицы D в данном случае параметры процедуры классификации будут равны:

Л=(0,45, о,51, 1,14, 1,9) и с=32,5.              (2-53)

В результате корреляция между идентификацией второго и третьего

уровня качества снизила их весомость в общей оценке.

Перераспределение опросов на N=(2, 25, 25, 2) с той же корреляционной

матрицей приводит к следующим значениям:

Л=(1,0, 1,1, 2,5, 4,1) и с=41,5.              (2-54)

Таким  образом,   несмотря   на  сокращение   проверок  пониженным   и

повышенным   качеством   для   оптимальной   классификации   существенно

изменился вес самых высоких уровней качества. Если корреляция отсутствует, то:

66

Л=(0,85, 1Д5, 2,4, 3,5) и с=43.              (2-55)

Таким образом, показано, что корреляция и распределение проверок для различных уровней качества существенно влияют на параметры алгоритма классификации. Имея статистические данные можно вычислить все корреляции и в процедуре классификации заменить дисперсионную матрицу ее оценкой, что повысит эффективность процедур классификации с точки зрения вероятности ошибочной классификации процесса на «качественный» и «некачественный».