2.3.2. Разработка метода классификации качества с учетом априорной информации  

Априорные вероятности q\ представляют вероятности принадлежности процесса к группе W\ до прохождения экспертизы образцов.

Без знания предыстории технологического процесса априорные вероятности можно положить равными. Знание предыстории процесса дает априорную вероятность его уровня качества, которая может существенно увеличить точность решения задачи классификации.

Если Xимеет многомерное* нормальное" распределение с плотностью /1(Х) для первой группы и/2(Х) для второй группы, то соотношение теоремы Байеса принимает вид:

P(Wl\X)=*f'W              1=1,2.(2.56)

67

При использовании байесовской процедуры классификации испытуемого относят к одной из групп на основании сравнения апостериорных вероятностей. Процесс относят к W\, если P{W\\X)gt;P(W2\X) и к    W2,    если    P(Wi\X)lt;P(W2\X),    что    соответствует    выполнению    или

невыполнению неравенства -ii—gt; 1.

Такая процедура классификации минимизирует ожидаемую вероятность ошибочной классификации:

?,Р(2|1) + $2Р(1|2),              (2.57)

где -Р(2|1) и Р(Ц2) - вероятности ошибочной классификации. Алгебраическими преобразованиями решающие правила Байесовской процедуры приводятся к виду, в котором представлены правила классификации на основе дискриминантной функции:

XeW\, если gt; а1х1 gt;—!              - + 1п— и XeW2в противном случае.

ы              2              Ч\

Разделяющая   константа   с   при   реализации   метода   классификации,

основанного на дискриминантной функции равна:

Mz, + Mz0,  q?

с=              4              ^ + ln^.(2.58)

2              qx

Апостериорные вероятности вычисляются на основании соотношения:

P(Wl\X) = -1

1 + — exp

Чі

-z +

Ч±      (_    , Mzx + Mz2\(2.59)

где z - дискриминантная функция результатов экспертного опроса, Mz\ и Mz2 - математические ожидания дискриминантной функции для выделенных групп.

68

апостериорных вероятностей от количества баллов, полученных в результате прохождения экспертизы.

1

PW120.5

40

о

Рис. 2.4.

В таблице 2.1. приведены апостериорные вероятности в зависимости от полученного балла. Столбец 1 определен для некоррелированных показателей с равными априорными вероятностями. 2 - коррелированных с равными априорными вероятностями, 3 - коррелированных с априорными вероятностями 0,3 и 0,7, 4 — некоррелированных с априорными вероятностями 0,3 и 0,7.

Таблица 2.1.

Из таблицы видно, что апостериорные вероятности, т.е. признак классификации процесса существенно зависит от знания априорных вероятностей.

69

2^

к-уг.amp;

A

P(2 11) = Ф

2^f

и P(\ | 2; = Ф

*-^-Alt;

(2.60)

/7/1    I   Г)    \

где  К = In—              '—•, и А определяет расстояние Махаланобиса. При

qxC(2 11)

равных    стоимостях    и    равных    априорных    вероятностях    справедливо соотношение:

Р(\ \2) = Р(2\\) = Ф

Ґ-ДЇ

к * ;

(2.61)

Приведем некоторые результаты сравнительного анализа в зависимости от распределения количества оценок качества и коррелированности показателей.

В таблице 2.2. (столбец 6) приведена зависимость ошибочной классификации для некоррелированных показателей. При тех же распределениях оценок уровня качества, но коррелированных оценках показателей (столбцы 1-4), результаты расчета приведены в столбце 7. Столбец 5 содержит общее количество оценок на всех уровнях качества процесса.

Таблица 2.2.

В общем случае задача классификации состоит в отнесении текущего состояния процесса с получением экспертных заключений Xк одной из к групп Wi,W2...,Wp, на основе количества положительных заключений на оценку качества параметров х\,Х2,...рср.

N

70

При классификации, как и в случае двух классов, предлагается использовать дискриминантную функцию.

j=\(2.62)

где /(X) - плотность распределения X в Wx, qx- априорная вероятность того, что вектор оценки X принадлежит популяции Wxyi=l..k; C(i|j) - стоимость отнесения наблюдения из Wiк Wx, i,j=l..k, Щ; .P(i|j) -вероятность отнесения наблюдения из W] к Wx, i,j=l..k, щ.

При известных параметрах распределения обобщенная байесовская процедура классификации относит вектор X к Wx, если величина dявляется максимальной, i=l.k. Байесовская процедура минимизирует ожидаемую стоимость ошибочной классификации:

7=1        у=1              (2.63)

l*J

Когда стоимость ошибочной классификации не имеет значения, все C(i|j) полагаются равными и процедура Байеса относит X к Wx, если qfxQC) имеет максимальное значение, i=l..k. Таким образом, минимизируется ожидаемая вероятность ошибочной классификации- ^P(i\ j).

В результате показано, что при организации контроля качества необходимо учитывать всю предысторию оценки качества технологического процесса, что существенно понижает вероятности ошибочной классификации различных типов процессов.