Модель рынка бройлеров

Каждое утро и каждый вечер... кур... на столе

(13:11 2-я Паралипоменон) внутренности... печени... почки... кур...

(29:13 Исход) Не носите... кур... не могу терпеть

(1:13 Исаия) возьми...

(23:8 4-я Царств)

Как известно, любой живой организм в начале жизни набирает вес, затем скорость набора веса падает и, в дальнейшем, вес стабилизируется: сколько его ни корми, а, в среднем, выше биологической нормы веса набрать не удастся. Затраты кормов идут "впустую" (с т.з. набора веса). В этом "утилитарном" смысле на рынке бройлеров естественно возникает задача: как надо кормить птиц, сколько закупать цыплят, и в каком возрасте их отправлять в магазин, чтобы получить наибольшую прибыль. Сделаем очевидные допущения, что все купленные цыплята доживают до магазина, максимально возможный биологический вес одинаков у всех особей и, что вес цыплёнка по сравнению с максимальным весом особи мал. Для упрощения положим, что птицефабрика закупает ежедневно цыплят, кормит их, и через время: T продаёт в магазин, т.е. на фабрике в равномерном количестве имеются цыплята-куры всех возрастов в интервале времени их жизни {0...Т}. Пусть спрос равен предложению. Введём обозначения:

- m = m(t) - это зависимость массы особи m [кг] от времени t. Относительно характера этой зависимости отметим следующее. При t = О мы имеем массу цыплёнка т0, т.е. т(0) ξ т0. При t => 00 вес птицы (сколько ни корми) должен стабилизироваться, на некотором среднем её уровне, т°°, т.е. т(°°) ξ т°°. Ещё одно замечание. В начале роста цыплёнок набирает вес не так стремительно, как в среднем возрасте. Поэтому в качестве: m(t) можно предложить, например, такую функцию: m(t) = А/[В + Exp(-t/C)], где параметры А, В и C можно определить из следующих соображений. При: t = О имеем вес цыплёнка, т.е. т0 = А/(В + 1).

- К (или, при потерях поголовья, - K0) - количество покупаемых фабрикой цыплят [шт/день];

-S- себестоимость, или закупочная цена одного цыплёнка [руб/шт];

- Κ·Τ - полное количество птицы на фабрике, или ёмкость птицефабрики [шт];

- а - потребительная стоимость (прибыльность) потребления мяса бройлеров [руб/кг];

-X- отпускная цена мяса бройлеров с фабрики в магазины [руб/кг];

- μ - максимальный спрос на мясо бройлеров, при бесплатной его раздаче [кг/день];

-λ·Δί - вероятность потери (смерти) птицы на интервале времени: At [1/день].

А теперь составим баланс прибылей-убытков фабрики, как функцию параметров: х, К и Т, и попытаемся провести оптимизацию её работы в плане получения наибольшей прибыли.

Затраты на ежедневное приобретение фабрикой цыплят тривиальны, это: Qi = K*s.

Затраты на содержание фабрики, очевидно, они пропорциональны количеству бройлеров в ней: Q2 = α·Κ·Τ, где: а - некоторый коэффициент, который отражает удельные затраты на одно "птице-место" в день (персонал, освещение-отопление-канализация, амортизационные отчисления, охрана, ветеринария, арендные выплаты, проценты по кредитам и пр.).

Естественно, что при наличии птиц разных возрастов и разной массы, затраты кормов тоже различаются: цыплёнку в день надо меньше корма, чем взрослой особи. Примем в нулевом приближении, что расход корма пропорционален массе птицы. Поскольку масса у птиц всех возрастов различна, то общую биомассу птиц: Ms найдём интегрированием: Ms = K»J m»dt ξ K*A*(C/B)»Ln{[1 + В»Ехр(Т/С)]/(1 + В)}, где интегрирование по t проводим в пределах: {0...Т}. Откуда затраты на корма по всей фабрике будут: Q3 = β·Κ·Α·0/Β·Ι_η{[1 + В»Ехр(Т/С)]/(1 + В)]}, где: β - коэффициент, отражающий удельные (на 1 кг массы птицы) затраты на корм в день. Размерность у коэффициента: β равна [руб/(кг»день)], а для коэффициента: а - [руб/день].

Если принять зависимость спроса от цены экспоненциальной, то ежедневная выручка от продаж будет: Q4 = р*х*Ехр(-х/а). Следовательно, прибыль фабрики, как разность выручки и затрат составит: Q = Q4 - Qi - Q2 - Q3. К этому уравнению надо добавить уравнение связи параметров модели, отражающее тот факт, что количество покупаемых цыплят должно быть равным количеству продаваемых бройлеров (потери поголовья, напоминаю, отсутствуют). Это уравнение имеет вид: р»Ехр(-х/а) = К»т(Т), где левая часть уравнения это спрос [кг/день] на мясо птиц, а правая часть - это предложение [кг/день] птицы от птицефабрики. Исключив из выражения прибыли: Q = ... с помощью уравнения связи параметр К, получим выражение: Q(x, Т) = р*Ехр(-х/а)*[х - (s + α·Τ + β·1 m»dt)/m(T)]. Дифференцируя его по переменной: х, и приравнивая производную к нулю, получим уравнение, для определения оптимальной цены птицы, как функцию её "времени жизни": х(Т) = a + (s + α·Τ + β-J m*dt)/m(T). Подставив это значение: х(Т) = ... в уравнение для прибыли: Q = ... и дифференцируя уже по параметру T с

На Рис. 2.32 слева приведен графический способ поиска оптимальных параметров для птицефабрики.

Данная модель применима для расчёта параметров других аналогичных рынков, в частности для мясного животноводства, рыбного хозяйства и пр. Получили очень неожиданный в словесной интерпретации результат, что наибольшую валовую прибыль фабрика получает при реализации бройлеров по минимальной, но одновременно и по... оптимальной цене. Уравнение оптимума справедливо для любых зависимостей роста массы бройлеров: m(t).

Например, если скорость привеса некоторых объектов экспоненциально падает, или их масса экспоненциально насыщается от значения: т0 до (в пределе): т°°, то для m(t) имеем простое выражение: m(t) = m°° - (m°° - m0)*Exp(-t/C). Оптимизация прибыли для этого вида прироста массы дана на Рис. 2.32 (справа). Здесь оптимальная масса объекта ниже и равна: ~ 25% от её предельного значения и "время жизни" лишь ~ 40% времени набора им половины возможного (среднего у объектов данного типа) предельного веса. Саму кривую зависимости массы птицы от времени можно найти-построить экспериментально по точкам, по среднему значению массы птиц в контрольной группе, а затем полученные данные аппроксимировать подходящим аналитическим выражением m(t), с которым в дальнейшем можно проводить вышеуказанные аналитические операции поиска оптимума "времени жизни" и цены.

Но вернёмся к бройлерам и рассмотрим случай потери птицы в процессе их выращивания (травмы, несовместимые с жизнью, случайные не эпидемические смертельные заболевания). В этом трагическом случае число птиц убывает, и, как известно из анализа, убывание идёт по экспоненциальному закону, т.е., если ежедневно приобретается: Ко цыплят, то к моменту: t их останется: K(t) = Ko*Exp(-A*t), где параметр: λ полагается известным. Находим баланс затрат.

Затраты на ежедневное приобретение цыплят, как и прежде тривиальны, это: Qi = K0*s.

Затраты на содержание фабрики пропорциональны количеству бройлеров на ней в момент Т, а это количество равно: JK(t)dt = (Κο/λ)·[1 - Exp(-λ·T)]. Окончательно для затрат Ch имеем выражение: Q2 = α·(Κ0/λ)·[1 - Εχρ(-λ·Τ)], где коэффициент: а был описан выше. Что касается биомассы всех птиц, то она с учётом потерь будет: Ms = I K(t)»m(t)»dt, где интегрирование по t ведётся в пределах: {0...Т}. Поскольку: K(t) и m(t) известны, то интеграл вычисляется, и затраты на корм будут: Q3 = p*Ms. Уравнение связи параметров модели, при потерях в поголовье кур будет: р»Ехр(-х/а) = К(Т)»т(Т), откуда: K0 = [μ/ιη(Τ)]·Εχρ(λ·Τ - х/а). И прибыль фабрики: Q(x, Т) = р»х»Ехр(-х/а) - K0*s - α·(Κ0/λ)·[1 - Εχρ(-λ·Τ)] - β·Μδ. Вынесем за скобки параметр K0, и, проведя несложные преобразования, окончательно получим: Q(x, Т) = р»х»Ехр(-х/а) - K0*{s + (α/λ)·[1 - Εχρ(-λ·Τ)] + β-J m(t)*Exp(-A*t)*dt}. Дифференцируя по х, и приравняв производную к нулю, можно найти оптимальную отпускную цену мяса бройлеров: х(Т) = a + {s + (α/λ)·[1 - Εχρ(-λ·Τ)] + β·|m»Exp(-A*t)*dt}*Exp(A*t)/m(T). При λ => 0, эта формула совпадает с предыдущей для: х(Т), как это при отсутствии потерь птицы. На Рис. 2.32-1 даны те же графики, но при наличии потерь: А = 0.01352 (параметр взят таким, чтобы за 30 дней потери птицы составляли ~ 33.33%), и здесь мы видим, что...

Как видим, при наличии потерь птицы, оптимальные цены (естественно) растут, но не так сильно, как потери птицы; прибыль падает, и "время жизни" птиц тоже сокращается. В нулевом приближении нами было принято, что затраты кормов пропорциональны массе птицы. А так ли это на самом деле? Рассмотрим проблему поподробнее. На что идёт питание

вообще? Я, увы, не биолог, но дам свои соображения. Во-первых, часть еды идёт на чистый обмен веществ, - клетки выделяют шлаки-радикалы и требуют взамен новый материал. Во- вторых, часть пищи идёт на создание новых клеток, а в нашей задаче, - на наращивание массы птицы. И в-третьих, часть пищи идёт на "энергетику": на сохранение температуры тела, на поддержание пищеварения, на чисто механическое перемещение в пространстве и на т.п. служебные функции, не имеющие отношения к росту массы объекта. Ясно, что только первая часть пищи, (идущая на обменные процессы и на их "энергетику") и, частично, третья часть пропорциональны массе тела. Вторая часть (на "строительство") - пропорциональна скорости роста массы, а третья часть (энергетическая, идущая только на тепловыделение) пропорциональна площади поверхности тела, или массе в степени: 2/3. Поэтому, скорость потребления пищи любым организмом: q, можно представить в виде суммы трёх слагаемых: q = g»m + m' + смп2/3, где: д, с - это коэффициенты соответствующей размерности, которые в некотором приближении могут быть найдены из калорийности пищи, её состава (углеводы- белки-жиры), а также из неких биологических соображений-пропорций. Зная вид функции роста массы: m(t) = А/[В + Exp(-t/C)], можно получить динамику потребления пищи: q(t), как функцию времени. Всю пищу [кг]: Mn, требуемую на выращивание одной птицы в интервале времени: {0...Т}, найдём интегрированием динамики: q(t) по этому интервалу. После простых преобразований получим: Mn = Jq(t)»dt ξ g»Jm»dt +.fm'»dt + c*jm2/3*dt, где слагаемые будут:

- jm*dt = A*(C/B)*Ln{[B*Exp(+T/C) + 1]/(B + 1)]};

- jm'*dt = A*[Exp(+T/C) - 1]/[B«Exp(+T/C) + 1]/(B + 1);

- jm2/3»dt = 0(Α/Β)2/3·[Φ(χ2) - Φ(χι)], где: X2 = (1/B + 1)1/3; Xi = [1 + Ехр(-Т/С)/В]1/3; где принято: Φ(ζ) = 0.5·Ι_η[(ζ - 1)3/(ζ3 - 1)] - 305»Arctg[(2»z + 1)/305)]. Вид выражений, конечно, удручающий, но у них есть преимущество в том, что это окончательные решения в радикалах с известными параметрами, и их вычисление (при графических построениях) трудностей не составит.

Естественно, не факт, что сами коэффициенты: g и с постоянны во времени, но в первом приближении этой зависимостью пренебрежём. Сделаем еще интуитивное предположение, что в точке перегиба кривой: m(t) все три слагаемых: g»m, m' и с»т:/3 ~ одинаковы, или, что в период наибольшего роста пища идёт на всё поровну. Получим: m'(Ti/2) = 0.25»А/(В»С); m(Ti/2) = 0.5·(Α/Β); m2/3(Ti/2) = (0.5·Α/Β)23. Умножив последние уравнения на коэффициенты: (д и с) и приравняв их друг к другу, получим формулы для коэффициентов: g и с, а именно: g = 0.5/С, и с = (0.5/С)*(0.5*А/В)1/3, Итого, масса корма на птицу будет: Mn = (A/B/2)*Ln{[B*Exp(T/C) + 1]/ (В + 1)]} + А*[Ехр(Т/С) - 1]/[В*Exp(TVC) + 1]/(В + 1) + (А/В)-2 4/3 *[Ф(х2) - Ф(х·,)], а ежедневные затраты фабрики на корма будут: Q3 = {p*m(Ti/2)/[3»m'(Ti/2)]}»KMn ξ {%·β·0}·Κ·Μπ. Здесь в фигурных скобках {·} дано выражение цены корма, но через коэффициент: β, равный затратам на [кг] веса птицы. Остальные затраты-прибыли: (Qj) - не изменятся. Выражение для прибыли: Q(x, Т) = р»Ехр(-х/а)*[х - (s + α·Τ + 3/4»р»С»Мп)/т(Т)], а оптимальная цена будет: х(Т) = a + (s + α·Τ + %»p»C»Mn)/m(T). На Рис. 2.32-2 слева приведен графический способ поиска оптимальных параметров, аналогичный расчёту приведенному на Рис. 2.32, справа -

Как видим, в обоих моделях оптимальное "время жизни" птицы не изменилось, но для последней модели выросли цены (в точках оптимума), и, соответственно, снизилась прибыль. Варианты для случая потерь птицы предоставлю рассмотреть читателям самостоятельно.

2.29.