Нерелятивистская матричная механика Гейзенберга-Борна-Иордана.
Основополагающая работа Гейзенберга по матричной механике начинается установкой, направленной против ненаблюдаемых величин.
"Настоящая статья имеет целью установление базиса теоретической квантовой механики, основанного исключительно на соотношениях между величинами, которые являются принципиально наблюдаемыми" . Как мы ранее показали, в полуклассической теории Н. Бора присутствуют ненаблюдаемые классические орбиты, в частности, положение и период обращения электрона в атоме. Итак, по Гейзенбергу, в физическую теорию должны входить лишь принципиально наблюдаемые величины . Требование принципиальной наблюдаемости у Гейзенберга в некотором смысле приобретает позитивистский характер: физическая реальность существует, поскольку она наблюдаема .Значит проблема существования физической реальности зависит от правильной интерпретации принципа наблюдаемости. Чтобы отделить рациональное содержание от позитивистской трактовки последнего, должны будем ввести понятие принципиально наблюдаемого объекта. Таким "принципиально наблюдаемым является только такой объект, который может наблюдаться (актуально или потенциально, прямо или косвенно) п > 2 независимыми способами" . Отсюда рациональным содержанием или правильной интерпретацией принципа наблюдаемости является следующее утверждение: "объективным существованием обладают только принципиально наблюдаемые объекты" . Возвращаясь к старой квантовой механике, можно отметить, что в ходе умозрительного исследования атомных явлений вначале Резерфорд, позже Бор создали функциональную модель, искренне веря, что создают иконическую (изобразительную) модель. Отличие между ними существенное: функциональные модели и конструкты не имеют объективного аналога (т.е.
онтологический статус), но играют эвристическую роль при построении теории (эфир, боровские электронные орбиты), а иконические (или изобразительные) — имеют объективный аналог, т.е. онтологический статус и играют эвристическую роль (например, представление об атоме или поле) .Задача Гейзенберга состояла в том, чтобы перейти от принципиально ненаблюдаемых координат движущегося электрона, т.е. от электронных орбит к принципиально наблюдаемым частотам и интенсивностям спектральных линий. Поэтому Гейзенберг предлагает вместо коэффициентов Фурье в разложении классического колебания электрона ввести величины, соответствующие двум стационарным состояниям атома. Стало быть, использовались Гейзенбергом в качестве структурного гештальта схемы рядов Фурье. "Гейзенберг вначале поставил задачу, — пишет М. Борн, — отыскания такого теоретического формализма, который отвергал бы использование величин, принципиально
неизмеримых экспериментальными средствами" . Отсюда практическая ценность принципа наблюдаемости для построения НКМ в его матричном варианте состояла в том, что с его помощью из множества возможных вариантов старых теоретических представлений и моделей нужно было выбрать такую, которая связана с представлением о принципиально наблюдаемом объекте, т.е., в данном случае, отказ Гейзенберга от принципиально ненаблюдаемой боровской орбиты . Таким образом, в упомянутой выше статье Гейзенберг заменяет непрерывные положения электронов дискретными, квантовыми величинами. Тем самым он рассматривает колебания координат электрона, которые можно разложить в ряд гармонических колебаний, согласно теореме Фурье.
Руководствуясь своей задачей построения механики оптических частот Гейзенберг пришел к формальному метаконструкту следующего вида:
kyWnmt 1 (1-4)
путем замещения коэффициентов Фурье в разложении классического колебания электрона "оптическими частотами" — частотами и интенсивностями спектральных линий атомов. Согласно комбинационному принципу Ритца оптические частоты содержали не один, а два индекса,, и спектроскописты обычно располагали результаты своих измерений в виде квадратной таблицы .
В свою очередь, формальный метаконструкт (1.4) является математической схемой рассматриваемой квантовой системы (атома).
"Схема элементов Гейзенберга в некоторой области изменения дифференцируема". Последнее выражение является аксиомой (или "метаумозрительным принципом"). Из этого принципа чисто дедуктивным путем получается коммутационное соотношение в матричной форме .Второй эвристической мыслью наряду с идеей наблюдаемых величин, характерной для подхода Гейзенберга, был способ использования принципа соответствия Бора. Согласно принципу соответствия Бора Гейзенберг "угадал" соответствие между квантово-теоретической частотой и классической частотой в фурье — разложений, поскольку
существует соответствие между квантово-теоретической величиной амплитуды и фурье — амплитудой. Здесь мы не будем приводить математические выкладки, проделанные Гейзенбергом в соответствии с этим принципом, но заметим, что "Гейзенберг, надеялся, что такое "растворение" принципа соответствия в основах теории откроет математически строгий путь для решения квантово-теоретических задач без потери эффективности принципа" .
Таким образом, Гейзенберг, испытывая влияние и Зоммерфельда, и Бора, "угадал", т.е. выбрал в согласии с принципом соответствия математическую схему новой механики. Это подтверждают слова Н. Бора: "Весь аппарат квантовой механики можно рассматривать как точную формулировку тенденций, заложенных в принципе соответствия" .
Следовательно, математическая схема Гейзенберга, по его словам, создавалась в "надежде просто угадать, в конце концов, правильные квантово-теоретические формулы для интенсивностей" спектральных линий водорода. При этом в качестве модели Гейзенберг рассмотрел ангармоничный осциллятор, допускавший более простое математическое описание.
Замещая элементы р и q математической схемы Гейзенберга (его квадратные таблицы) бесконечными матрицами (аппарат исчисления матриц), элементы которых р^ и qllm соответствуют переходам осциллятора из состояния с энергией Ет в состояние с энергией En М. Борн и П. Иордан пришли к формальному изложению НКМ в виде алгебры матриц.
Как следствие некоммутативной алгебры, выполняется квантовое условие перестановок Борна qp-pq=ih, которое заменяетправило квантования j> pt dqi в теории Бора.
Об этом драматическом моменте познания вспоминает сам М. Борн в следующих словах: "Летом 1925 г. Гейзенберг дал мне рукопись своей фундаментальной работы, в которой он развил исчисление амплитуд перехода... Несколько недель спустя я заметил, что гейзенберговский способ исчисления совпадал с матричным исчислением, который я изучил у Розанеса в Бреслау, и что его квантовое условие тождественно диагональному элементу соотношения pq-qp = 1і/2л:і. я предложил, что это уравнение справедливо и для других элементов, и это было тотчас же выведено Иорданом, исходя из канонических уравнений движения" .
В этой связи можно привести свидетельство самого М. Борна, уточняющего свой вклад в создании матричной формы квантовой
механики: "Лично мой вклад заключался, насколько я помню, главным образом в толковании матриц как операторов в векторном пространстве с эрмитовской метрикой, которое теперь называют гильбертовым пространством, и в теории возмущений, которая была впоследствии развита Шрёдингером на языке волновой механики и обычно называется его именем"1.
Упомянутое Борном перестановочное соотношение, носящее его имя, составляет содержание математической гипотезы матричной формы НКМ2.
"До 1925 г. матрицы редко использовались физиками. Достойными внимания исключениями были нелинейная электродинамика Ми и работа Борна по теории кристаллических решеток. Но даже и в этих исключительных случаях матрицы не употреблялись в алгебраичных операциях, в частности, не было и речи об умножении матриц. В общем целом считалось, что матрицы относятся исключительно к сфере чистой математики"3. Алгебра матриц, как возможная математическая схема будущей НКМ, потенциально находилась среди множества математических структур, в новых разделах математики, "ожидая" своего применения. Так как множество возможных математических структур, из которых выбирается фундаментальный теоретический закон, ограничивается с помощью программных принципов, но последние не гарантируют однозначного выбора искомого закона, то подключаются в селективный процесс методологические правила соответствия и конструктивной простоты (согласно последнему, из подмножества структур, удовлетворяющих правилу соответствия, надо выбрать простейшую)4.
"При ретроспективном взгляде представляется почти сверхъестественным, — продолжает М.
Джеммер, — насколько вовремя подготовила математика свои будущие услуги квантовой механике"5.После того, как завершили в общих чертах рассмотрение путей
Там же. С. 225.
В то же время П. Дирак независимо от Борна пришел к перестановочному соотношению с помощью коммутатора любых двух переменных ^ ^ , для которого гештальтом послужили скобки
x-h— '
р mV
Пуассона (умноженные на * ) классической физики.
Д жеммер М. Указанная работа. С. 205.
Бранский В.П. Указанная работа. С. 57.
Джеммер М. Указанная работа. С. 295. В некотором смысле опережающее естествознание развитие математики, объясняется взаимным стимулированием механики и математики (Н.Бор), т.е. их взаимной синергетической корреляцией. Отсюда вытекает «сверхъестественность» математики по отношению к физике и ее "непостижимая эффективность" (Е. Вигнер).
построения волнового и матричного вариантов НКМ, логично сравнить их между собой. В истории физического познания стоит поискать две «эквивалентные в эмпирическом (одинаково хорошо объясняют эмпирические данные), так и в семантическом плане (несут одно и то же содержание)» и различающиеся радикально в лингвистическом аспекте (по математическому языку) теории, как волновая механика де Бройля- Шрёдингера и матричная механика Гейзенберга-Борна-Йордана .
Как мы показали, обе они "выросли как два ствола" из единого "древа" классической физики. Волновая механика Шрёдингера опиралась на математический аппарат дифференциальных уравнений аналитической механики (ближе к классической механике сплошных сред) и в основном оперировала понятием волны, постулирующей непрерывность, т.е. классическое наглядное континуальное мировоззрение. Напротив, матричная теория Гейзенберга-Борна-Йордана, исповедуя неклассическое "дискретное мировоззрение" Планка-Бора, выбрала алгебраическое исчисление матриц с некоммутирующими величинами, что привело к полному изгнанию наглядности из теории, и в основном оперировала понятием частицы. Здесь, в некотором роде, замечаем фундаментальное расхождение между этими теориями, чреватое выбором. Физическое сообщество в общем и целом склонялось в выборе теории в пользу волнового варианта НКМ в силу его простоты, удобства, даже "элегантности". Но этот окончательный выбор не состоялся, т.е. состоялся только в пользу новой обобщенной НКМ из двух сросшихся, матричного и волнового, стволов древа познания микромира на базе обнаруженной их «формальной, математической тождественности» (Э. Шрёдингер, 1925 г.) и на языке теории линейных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.