§ 7. Преобразование общего уравнения линии второгопорядка

Ах2 4- ЧВху + Су2 + 2Dx + 2Ву + F = 0, (1)

так как в большинство формул преобразований входят коэффициенты при ху, у, делённые на два.

Задача состоит в том, чтобы при помоши преобразований координат привести уравнение (1) к каноническому виду, т.

параллельный перенос начала координат;

поворот координатных осей.

1. Параллельный перенос начала координат. Пусть заданы две системы декартовых прямоугольных координат с разными началами О и О' и одинаковыми направлениями осей Будем называть Ої, Оу І/і у' — М

і

і

і ¦

і і У Г уо В* Г.-" Ъ-К- К — —

О' Xі V

Г

г і

! і і І1 0 а* ас X

Яро З

PDF-версия с 95 я MirKnig.com

старыми, а OV, 0'у! новыми координатными осями. Обозначим через ^о и уа координаты нового начала О' в старой системе, Спроектируем произвольную точку М на оси Ох, Оу и 0V И О'у', тогда из рисунка видно, что {см. рис- 22)

Таким образом, мы получили формулы, позволяющие выразить ста-рые координаты х и у через новые х( и у'. Итак, формулы параллельного переноса осей имеют вид;

х = х0+х\ у = gfo + !/'•

или

х' = х - ат0} уг — у ~ 1/0- (2)

2. Поворот осей координат- Установим теперь формулы преоб-разования прямоугольных координат при повороте осей. Пусть заданы две декартовые прямоугольные системы координат с одинаковым началом и разными направлениями осей.

3- Приведение общего уравнения линии второго порядка к на" ионическому виду. Прежде всего постараемся упростить уравнение (I) при помощи параллельного переноса координатных осей. Пе-ренесем начало координат в точку S{a?o. мо). полагая, х = х' А-х0, У = = у' + Уо,

Тогда, подставляя их в ураз! генне (I) получим:

А{х' +хц)2+ 2В(х' + xQ)( у'+ уа) + С {у' + уо)2 + 2 D{xf + х0) +

+ 2Е(у' -by^ + F^Q. Раскрывая скобки после приведеиии подобных членов, найдем:

Аха + IBx'y' + Ctf* + 2х'(Ахи + ByD + D) +

+ 2y'(Bx0 + Суц + Е) +' Рг » С, (4}

ще

Fi = XQ(AX0 + Вщ + D) + -f- Cy0 + E) + Dxd + By0 + F.

і

Теперь подберём x0 и уь так, чтобы

AXQ + 3^ + 0 = 0,

Вх0 СШ 4- Е - 0, ^

Тогда уравнение (4) принимает вид;

Ах'2 + 2Вх'у' А Сул + F1 = О, Fi = Dx(i + ByQ -h F, (6)

Таким образом, при параллельном переносе начала координат в точку мы в уравнении (I) освободились от членов, содержащих первую степень текущих координат.

При решении системы (5) возможны следующис случаи. 1. Л = АС - В1 Ф С. Система имеет единственную точку

BE-CD _ BD-AE AC-В* У ^"AC^tf"

Точка ?/o) называется центром кривой, а сама кривая называется центральной, К числу центральных линий относятся эллипсы (Д > 0) н гиперболы {Д < 0), Если при параллельном переносе координат получается эллиптическое уравнение, то это либо обыкновенный эллипс (см. ураннеЕіие (4) §6), либо вырожденный эллипс — правая часть уравнения (4) §6 равна нулю (т.е. определяет точку), либо мнимый эллипс — правая часть уравнения (4) §6 равна минус единице (в этом случае уравнение не определяет никакого геометрического образа). Если же получается гиперболическое уравнение, то это либо обыкновенная гипербола (см, уравнение (5) §6), либо вырожденная гипербола — правая часть уравнения (5) §6 равна нулю (в этом случае мы имеем пару пересекающихся прямых).

4 ю,и.к,иМе>,МР-ько д-я ознакомления PDF-версия с 9ь я

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников lbitt

98 А налит иоескйя геомггпри.шл и эяр.

2. Л — АС — В2 = 0, При і том возможны следующие два случая:

а) система уравнений (5) не имеет решений, тогда кривая второго порядка не имеет центра. В "том случае упрощение заданного уравнения целесообразно начать с поворота координатных осей, причём в ре-зультате всегда будет получаться каноническое уравнение параболы;

б) система уравнений (5) имеет бесчисленное множество решений, В этом случае уравнение второго порядка является уравнением вы-рожденной параболы. Оно определяет пару параллельных прямых или мнимое место точек.

Пусть Д ф 0; дальнейшее упрощение уравнения (6) достигается при помощи поворота координатных осей на угол tt, который выберем впоследствии. В этом случае преобразование квординат имеет вид:

( ^ ?cosa — frsin а, ] у' — Я БШ а + $ сов а.

Подставляя формулы (7) в уравнение (6), после преобразований, получим:

А}Х2 + 2Вхх ¦ у + Сіу 2 -f Fx = 0, где для краткости положено

Az — A cos" а + 2Б sin cv cos а + С зіпг а,

?fi = (С — A) sinctcoSQ + Л(соз2а - sin2 а),

¦ і

Сі » A sin2 а — 2?f&mo!Casa Л- С cos2 а.

Выберем угол-а так, чтобы коэффициент Bi обратился в нуль, т.е. чтобы выполнялось

{С — A) sin (х cos а 4 B[qor2 а — sina л) = 0 (8)

или В tg2 о; - (С - A) tg a - В - О,

В новых координатах уравнение (1) принимает вид:

+ Fx - 0 (9)

т.е. уравнение (1) мы привели к каноническому виду. Отметим, что между коэффициентами уравнении (1) н (9) существует связь:

А\Сі = АС - В2 Ai+Ci=A + C, (10)

которая позволяет определить коэффициенты А], С\, не проводя преобразований координат.

Рассмотрим нес коль ЕЇО примеров.

Задача 34. Построить кривую, определяемую уравнением 5л:2 + + &ху + 5а:2 — — + 9 — 0.

Решение, Выпишем коэффициенты А = 5, В — 4, С St D — -9, В = -9, FtS, 5ока имеем: Д іЗ—ЙКО = 25-16 я 9 > о. Так как Д = 9 > 0, то данная линия является эллипсом. Для нахождения координат центра решим систему уравнений (5);

5а?о + 4р0 - 9 - G, + 9 - О,

Л = 9, Д* = 9, Aj, = 9, х0 = ^ = у0 = ^ = L

Перенесем начало координат в точку 5(1,1).

5(ar')a+e(iV)+5(jO* -SJ-^O.'

Произведём теперь поворот координатных осей на угол а, который найдём из уравнения (в): 4tg2 а —4-0. tgcv = ±1. В качестве решения возьмём tgа — 1, Си — 45°, то, повернем систему координат на 45° против часовой стрел к н, при этом координаты преобразуются по формулам

%* — у х + у*

— 2 - 2

а уравнение принимает вид Qx i -4- у" — или -3- ^т- — 1 (см, рис. 24),

1 Э

Задача 35. Преобразовать к каноническому виду уравнение 10ху 4 Зу2 - 2х - 14у - 13 = 0, Решение. Так как А 3, В = 5, С = 3, D — —1, Е — -7. F = — —la, то Л — АС — В2 — 3 -3— 25 = — 16 < 0, Поэтому данная кривая является гиперболой. Находим координаты центра (уравнения (5)):

Зго + -1 — 0, + З&о - 7 =* 0,

100 Ana л ит и ч еск ая геометрия и элементы вскіпррноа алгебры _ [ Гж 'Ш,

Д - -16, Д,ц = —32, = = -1.

Переносим начало координат в точку ?(2, -1), при этом координаты преобразуются по формулам; х - я' + 2, у = у' - 1, а уравнение кривой принимает вид Зх'2 4- IQrV + 3&12 - 8 = Произведём далее^ поворот осей на угол о, тангенс которого найдём из уравнения (8): tg2or - 1 = = 0f отсюда tga = ±1. Возьмём первое решение tga = 1, что соответствует повороту осей па 45е, при этом координаты преобразуются ло формулам: ^ +

~ УҐІ ' у ~ -Л "

Решая систему уравнений <10): = -16, Аі +СЛ — 6. получим:

если а = 45е, то А} — 8, С\ - —2;

если о - — 45р. то А1 т -2, С\ = -8. Окончательно уравнение линии принимает вид (см. рис. 26)

или У.

y\ у'

o\x\ X

у x У

Рис 25

Задача 36. Преобразовать к каноническому виду уравнение 9х2 —

24+ Ібу2 - 2От + ПОу - 50 - 0.

Р с ш е н и е. Так как А = 9, В ^ -12, С - 16, D = -I0t Е =

Г)5, F = -50, то Д - АС — В2 — 0 — даниэе уравнение является параболическим, поэтому упрощение целесообразно начать с поворота координатных осей при помощи формул (3); подставляя формулы (3) в исходное уравнение и приравнивая к нулю коэффициент при х'у', получим уравнение (8), т.е.

12tgaa + 7tga-12 = 0.

= -0.8: совтольк о для ознакомлени 3 PDF-версия 100 irKnig.com

Вычисляя коэффициенты при Iй, у'\ х/, у', з но пых координатах исходное уравнение принимает вид

уа - V - 2х' -2—0 или (у' - 2)2 - + 3) » 0.

Дальнейшее упрощение уравнения производится при помощи параллельного переноса осей Ох', Оу' по формулам J¦= у* — 2, X — х' + 3, В новых координатах уравнение исходной линии примет вид у 2 = 2х, Это и есть каноническое уравнение параболы с р = 1 и с вершиной в начале координат системы fj (см. рис, 26). у I

Xе

t j/ X Ху

х л.

V'

Рис. 26

Задача 37, Привести следующие уравнения к каноническому виду:

]) у = ах2 + Ьх А- с, 2) х - а\у2 -J- Ь\у + сь 3} ху — т.

Решение. 1) Выделив полный квадрат, перепишем уравнение (I) в виде

Ч а а, J V, а \аг Ь а/ \ 2а /

Лас - Ь'

, —b ^ Ъ2

или у - Уо = - , где х0 = —у0 =я —^—.

_ „ 'і Я .

Производя параллельный перенос осей а; = 3 — XQ, у — у — Уо,

получим у' = а ¦ {х')2 — каноническое уравнение параболы с вершиной

в новом начале координат и расположенной симметрично относительно

новой оси ординат.

2) Аналогично:

( 2 , Ьі , ь\ &1 , сЛ / . bi \2 , 'UiCi - Ьі

*= ai - ля ъ3 а к (м леН PDF-верси 101 irKnig.com

В некоторых случаях главным значением полярного угла называют значение (р, удовлетворяющее условию -ir < tp ^ ж, Каждой паре г, <р отвечает только одна точка, но одной и той же точке отвечает бесконечное множество значений полярного угла. Запись M(r, ip) означает, что точка М имеет полярные координаты г н <р.

Введём в декартову прямоугольную систему коордннат Оху так чтобы полюс О пол яркой системы совпадал с началом декартовой СИСТЕМЫ, А полярная ось совпала с положительной осью абсцисс.

Пусть произвольная точка М имеет прямоугольные координаты х ну, а полярные г и ip. Тогда связь между прямоугольными и полярными координатами произвольной точки М (М ф 0) определяются формулами х =-¦ г cos ір) у — т ніп ip и обратно (см.

т — Vz2 + У2, sin (р ~ — t tg

г г °г у

О ^ <Р < 2тг, 0 ^ г < 00.

пример Определить полярные координаты точек: Mi(2,0), A-Mv^l). мз(0,4)3 1, у^З ), ^(-3,0), М$(—2, —2), М7(0,-1), Mb(4j —4).

Решение. I) Так как Si = 2, ух = 0, та точка Mv находится на оси Ох, тогда г = у/х\ 4- yj ~ 2, tgO = yi/xi = 0, ^ ^ 0. Следовательно, Mi (г = 2; <р= 0).

^ = V3 . У2 = 1, г = 2, fep - = 11 M2 (2, I).

xz - О* уз — 4, точка Л/д находится no оси Oy: г — 4t p = —,

Xa = — 1, У4 = \Д, M.J лежит эо второй координатной четверти, тогда г ^2, ^-TT + axctg^,^^;

М5 ЕШХОДИТСЯ на оси Ох\ г — 3, tp = ж (а не -тг), MG(3, я*},

Точка М{з находится в третьей координатной четверти. Тогда

г ^ 2ч/5, tg^ = 1, ^=T + axctg|j, или

і

Точка AtfV лежит на оси Оу: г = 1. ^ - - ir (или Тогда

Точка Mb находится в четвёртой координатной четвер™, тогда г ~ 4^/2. tg

Af.jW^ir) или (4^/2

Объединяя эти результаты, можно составить следующую табли- цун которая нескяько оЕ^лдлт но^н^дак полярных координат г =

=- у^ 4 і а главное значение tp эьзглядит так:

' О а

тг/2

при х > О, у ~ 0;

arctg - х

у

при х > 0, у > 0; при х — 0, у > 0:

тг +¦ arctg -X

тг

тг 4 arctg -

X

при я < 0Т у > 0; при х < 0П у = 0; при х < 0, у < 0;

Т (илн 'I) при Х = °3 у < 0;

2тг 4 arctg - при х > €, у < 0.

Пример 2. Найти расстояние между двумя точками

и Мз(г2, фї)' Решение.

d = - x2f 4 fox =

= cos if i — t% cos (n sin = У Г? 4 r^ - 2nr2 cos (PI -

-ж)

Пример 3, Даны две смежные вершины квадрата М\ ^12,

. Найти его площадь. Решение. Площадь квадрата равна

5 = =

Пример 4. Даны две вершину правильного треугольника A — и В ¦ Найти его площадь.

Решение.

5= = ЗЁ* = [rf+ri-Sni^fo -cs)] = 2SV3.

Пример 5. Одна из вершин треугольника находится н по

люсе, две другие есть Л(гьиі) й Вычислить площадь этого

треугольника.

§ 7) Вопросы для_самопрдве?к^ [05

Решение. Площадь треугольника ізкрйжастся через координаты его вершин 0(0, 0), Л(гі,9?і) и формулой (см. § 3)

& 2 l*tffe ~~ І2Ї/1І — ^ Г1Г2 Jcos^l sin (р2 ™ cos <Р2 Б1П (pi | ~

= \ ТіГ2 |sin {tpi - tp3)j.

Пример 6. Записать уравнения кривых в полярной системе координат;

Ах + By -Ь С = 0;

+ Я

(х-Я)2 + у2 = П2.

Решение. 1) Учитывая, что х = rcos^i У = г sin у?, имеем Arcostp -f Jpratn^ -г С = Следовательно, уравнение прямой в полярной системе координат есть

-С

г = —¦„...

А СОЙ "Н ООЫр

х7 + у2 = г2 cos2 tp -ь г2 sin2 tp ~ г2 (cos2 у? + 5ІІ12 <р) г2 = Л® Таким образом, уравнение окружности с центром в начале координат есть r= R.

(х - Я)а + у2 = я2 - 2Лдг -г Д2 + у2 = Отсюда з:2 + у2 = = ЙЯт, тогда г2 cos 9 + г2 s:rr ^ — 2Rr соя tp или г2 = 2гЯ cos ^ и г = — 2Ясоа^ — уравнение окружности с центром в точке (Л, 0) радиуса Я,

Аналогично х2 4- (ту — Я)2 = Я2 —І Г — 2йзт*р — уравнение окружности с центром ч точке (О, Я) радиуса R,

Пример Записать уравнение заданных кривых в декартовой системе координат: О г- 3; 2} tg^> = 1; 3) sin ір — \jyf% .

Решение. 1) г — 3 или і/аса + Vа = 3 и г2 -f-у2 ^ 9 — окружность с центром в начале координат

+„ siniр rsmtp у г

tgu? —— = -—— — - = 1, отсюда v ™ я — прямая проходя-

COS 1^7 fCOH^ X '

щая через начало координат (биссектриса первого и третьего координатных углов),

3) sir*уз - —^ или гвіхмр = тогда у ¦ или у2 =

« ~ (х2 + и у2 = Xі. Отсюда у = ±х — прямые.