7.2.1 Оценка ошибок измерений

Воспроизводимость лабораторных опытов имеет большое значение при исследованиях на обогатимость, а также при теоретическом изучении процессов обогащения. В соответствии с теорией ошибок различают:

- грубые ошибки (промахи) - результаты, резко отличающиеся от других измерений и являющиеся следствием нарушения условий измерения;

- систематические ошибки, связанные с дефектом прибора или метода; их величина одинакова при всех измерениях.

- случайные ошибки, которые зависят от множества неконтролируемых факторов. Случайные ошибки учесть невозможно, их величину можно определить только повторными измерениями и статистической обработкой результатов. Размер случайной ошибки характеризует воспроизводимость измерений.

В соответствии с теорией вероятности случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения (закон Гаусса), по которому вероятность ошибки:

, (7.1)

где - дисперсия распределения; - среднее квадратическое отклонение. Вероятность отклонения от среднего значения показана на рис. 7.1.

Поскольку истинное значение измеряемой величины μ и дисперсия неизвестны, используют их статистические оценки и .

Среднее арифметическое для п значений величины х_і:

= . (7.2)

При обработке очень большого материала расчёты можно упростить, если п наблюдаемых значений х₁, х₂, ..., х_п сгруппировать в т интервалов со средними t₁, t₂, ..., t_m при одной длине интервала Δt. Если каждому из этих интервалов соответствуют частоты наблюдений ν₁, ν₂, ..., ν_т, то среднее определяется выражением:

≈= . (7.3)

≈ в результате округления при расчёте t_j. Разница между и будет небольшой, если число наблюдений велико, а интервалы малы. Каждую из частот (ν₁, ν₂ и т. д.) можно назвать весом соответствующего значения, а будет средневзвешенным значением.

Выборочная дисперсия (математическое ожидание):

, (7.4)

где S - средняя квадратичная ошибка (стандартное отклонение).

Относительная квадратичная ошибка, выраженная в процентах от случайной величины, называется коэффициентом вариации:

, %. (7.5)

Вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину не больше чем Δх,

(7.6)

называется доверительным интервалом или коэффициентом надёжности.

Интервал значений от - Δх и до + Δх называется доверительным интервалом, то есть с вероятностью, равной А, результат не выходит за пределы доверительного интервала от - Δх и до + Δх. Разумеется, чем больше надёжность нужна, тем больше будет соответствующий доверительный интервал, и наоборот, чем больший доверительный интервал задаётся, тем вероятнее, что результаты измерений не выходят за его пределы. Таким образом, для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа: величину ошибки (или доверительного интервала) и величину доверительной вероятности.

По закону Гаусса средней квадратической ошибке соответствует доверительная вероятность 0,68, удвоенной средней квадратической ошибке 2 - доверительная вероятность 0,95, утроенной средней квадратической ошибке 3 - доверительная вероятность 0,997. Обычно при технических исследованиях принимают доверительный интервал при доверительной вероятности P = 0,95.

По закону случайных ошибок, если измеряемая величина z является суммой или разностью двух случайных величин X и Y, то:

или . (7.7)

Закон сложения дисперсий сохраняется для любого числа слагаемых, откуда выходит, что средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

. (7.8)

Доверительный интервал определяется с помощью t-распределения Стьюдента (приложение 1), зависящего от доверительной вероятности Р и числа степеней свободы :

. (7.9)

Значение очень сильно зависит от f при малых ее значениях п (п 30) эта зависимость значительно меньше. Из формулы (7.9) при следует:

. (7.10)

Статистические оценки случайной величины (среднее арифметическое и стандартное отклонение S_х) рассчитываются из предположения, что выборка х_і не содержит грубых ошибок (промахов). Для исключения промахов из большой выборки можно пользоваться правилом 2 или 3. Для промаха х* рассчитывается абсолютное значение разницы . При доверительной вероятности Р = 0,95 х* отвергается, если > 2, а при Р = 0,997, если > 3.

Для небольших выборок, когда S_х существенно отличается от пользуются критерием Стьюдента, при этом сравнивают:

(7.11)

с t_p (Приложение 1). Если , то с доверительной вероятностью Р можно считать, что измерения х* является грубая ошибка, но и при нельзя говорить об отсутствии грубой ошибки, а можно только говорить о недостаточных основания для исключения данного измерения. После исключения грубой ошибки оценки и S_х необходимо вновь пересчитать и рассмотреть вопрос о промахах в оставшейся выборке.