9.1 Оценка точности измерения углов и расстояний

Основное содержание топогеодезических работ составляют измерения, проводимые большей частью на местности, и обработка результатов измерений вычислениями или графическими построениями.

Измерить какую-либо величину – значит сравнить её с принятой единицей меры, то есть узнать, сколько в ней содержится таких единиц. Теория и практика работ показывают, что совершенно точно (безошибочно) измерить любую величину невозможно. Поэтому всякое измерение имеет две стороны: количественную – числовой результат измерения и качественную – точность измерения, то есть степень соответствия полученного результата истинному значению измеряемой величины.

Ошибкой измерения Δ называется разность между полученным (приближенным) х1 и истинным х0 (точным) значениями измеряемой величины:

Δ= х1 – х0 . (9.1)

Основными источниками ошибок являются:

несовершенство измерительных приборов и методов измерений;

ограниченные разрешающие способности органов чувств человека и индивидуальные особенности измеряющего;

влияние внешней среды (характер местности, метеорологические, геофизические условия и другие);

По характеру возникновения и действия ошибки измерений подразделяются на систематические и случайные.

Систематическими называются такие ошибки, которые при повторении измерений в одних и тех же условиях остаются постоянными. Примером систематической ошибки может быть ошибка в длине линии, измеренной мерной лентой, если длина последней больше или меньше номинальной, или в длине линии, измеренной дальномером ДДИ при температуре, отличающейся от температуры определения коэффициента дальномера.

Так как систематические ошибки для конкретных условий измерений имеют вполне определённые значения, то их влияние на точность измерений может быть устранено введением соответствующих поправок, которые определяются заранее. Примерами таких поправок являются поправка буссоли, поправка гирокомпаса и другие.

Случайными являются такие ошибки, которые, являясь результатом взаимодействия большого числа факторов, принимают в каждом отдельном случае измерений различные значения.

Случайные ошибки неизбежны при всех измерениях. Исключить эти ошибки введением соответствующих поправок невозможно. Величина и знак случайной ошибки в каждом отдельном измерении могут быть различными. Однако, если провести большое количество опытов, то можно установить определённую закономерность в появлении случайных ошибок. Математическое выражение этой закономерности называют законом распределения ошибок.

Большая часть измерений при топогеодезических работах сопровождается случайными ошибками, которые подчиняются нормальному закону распределения. Исключение составляют ошибки снятия отсчётов по шкалам или лимбам приборов и ошибки округления при вычислениях, подчиняющиеся закону равной вероятности.

Случайные ошибки, подчиняющиеся нормальному закону распределения, характеризуются следующими свойствами.

1. Ошибки, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, появляются одинаково часто.

2. Ошибки, малые по абсолютной величине появляются чаще больших.

3. При заданных условиях измерений ошибки не превышают известного предела.

4. Среднее арифметическое из случайных ошибок множества равноточных измерений одной и той же величины стремится к нулю.

Отличительной особенностью ошибок, подчиняющихся закону равной вероятности, является равномерное распределение ошибок по их абсолютной величине, то есть все ошибки в определённых пределах одинаково возможны (равновероятны). Все остальные свойства ошибок (за исключением второго) остаются для этого закона распределения такими же, как и для нормального закона.

Свойства, которым подчиняются случайные ошибки, лежат в основе оценки точности измерений и учета погрешностей измерений. Для этого надо иметь числовые характеристики случайной ошибки измерений. Наиболее часто при оценке точности топогеодезических работ используют срединную, среднюю и предельную ошибку.

Срединная ошибка – это такая величина, которая по своему абсолютному значению больше каждой из ошибок одной половины и меньше каждой из ошибок другой половины всех полученных ошибок. Срединную ошибку принято обозначать буквой Е. Иногда ее называют срединным отклонением.

Из самого определения срединной ошибки следует, что её значение можно найти, расположив ошибки в порядке возрастания (убывания) их абсолютных величин. При нечетном числе измерений срединную ошибку принимают равной значению ошибки, находящейся в середине ряда, а при четном – среднему значению из двух ошибок, расположенных по середине ряда. Точное значение срединной ошибки может быть получено при большом числе измерений через среднюю ошибку, когда имеется эталонное значение измеряемой величины.

Средней ошибкой называется ошибка, равная среднему арифметическому из абсолютных величин случайных ошибок данного ряда измерений или другими словами, сумме абсолютных значений ошибок, деленной на их число.

При создании топографических карт их точность характеризуют именно средней ошибкой в положении на карте местных предметов, контуров и высот.

При нормальном законе распределения ошибок срединную ошибку можно определить через среднюю на основе следующего соотношения:

.

Для закона равной вероятности соотношение между срединной и средней ошибками имеет следующий вид:

Предельной ошибкой называется наибольшее абсолютное значение случайной ошибки, которого она может достигать при данных условиях равноточных измерений. Вопрос о значении предельной ошибки не имеет строгого теоретического обоснования. Закон распределения случайных ошибок позволяет сказать только, как часто могут появляться в ряду равноточных измерений случайные ошибки различного значения. Вероятное распределение ошибок для нормального закона представлено в таблице 9.1

Таблица 9.1 – Вероятное распределение ошибок для нормального закона

Анализируя таблицу 9.1, можно заключить, что при нормальном законе распределения случайных ошибок разница по абсолютной величине между измеренным и истинным значением не будет превышать 4…5 срединных ошибок.

Предельной ошибкой в практике топогеодезической привязки пользуются при установлении допусков на расхождение между результатами неоднократных (часто двух) измерений одной и той же величины, когда истинное значение этой величины неизвестно.

Срединное отклонение, характеризующее разность двух измерений, может быть вычислено по формуле

, (9.2)

где и – срединные ошибки первого и второго измерений.

Если срединные ошибки измерений одинаковы, то формула может быть выражена в виде

, (9.3)

где – срединная ошибка одного измерения.

Допустимое значение расхождения между результатами двух измерений обычно устанавливается равной трем или двум срединным отклонениям, определяемым по формуле (9.2) или (9.3). С помощью данных, приведенных в таблице 9.1, нетрудно установить, что вероятность появления случайных ошибок, превышающих три или два срединных отклонения, будет составлять 4,3 или 17,7% соответственно.

Применительно к ошибкам округления и снятия отсчетов предельная ошибка имеет более строгое толкование. Срединные ошибки округления и снятия отсчетов определяют именно через предельную ошибку. Предельная ошибка округления равна 0,5 единицы последнего округляемого десятичного знака. Точно так же предельная ошибка снятия отсчетов по шкалам равна 0,5 наименьшего деления шкалы.

Связь между срединной и предельной ошибками округления и снятия отсчетов выражается зависимостью

. (9.4)