8.4 Выбор структуры модели и плана эксперимента
Благодаря возможности использования ЭВМ можно выбирать структуру модели в соответствии с концепцией «веера моделей». Традиционно при исследованиях рассматривалась одна модель или совокупность различных моделей и из них выбиралась единственная (осуществлялась дискриминация).
Концепция «веера моделей» заключается в том, что модель, которая подходит для прогнозирования значений отклика, часто оказывается не пригодной для экстраполяции, а модель, хорошо описывающая процесс в лабораторных условиях, оказывается не пригодной для промышленных условий. Всё это и обусловило необходимость рассмотрения различных моделей без их дискриминации [5, 9, 13].Например, сначала рассматривают достаточно простую модель, которая учитывает только линейные эффекты:
. (8.5)
Затем рассматривают эффекты взаимодействия факторов, то есть 
при 
:
, (8.6)
после чего учитывают квадратичные эффекты 
; осуществляют перестройку независимых переменных: 
, 
, 
, 
и т.п.
Рассмотрим методы построения моделей вида (8.6) с применением идеи активного планирования эксперимента.
После выбора модели (или их совокупности) осуществляют эксперимент, по результатам которого определяют параметры выбранной модели.
Активное планирование эксперимента предполагает проведение опытов в соответствии с планом эксперимента.План эксперимента определяет расположение опытных точек в пространстве независимых переменных (факторном пространстве), то есть условия проведения опыта. План эксперимента задаётся в виде матрицы плана, например в виде таблицы, каждая строка которой соответствует условиям опыта, а столбец - значению независимой переменной в каждом опыте. С использованием матричных обозначений модель (8.6) можно записать как:
, (8.7)
где 
- вектор-столбец оценок отклика; 
- матрица плана; 
- вектор-столбец оценок коэффициентов.
Модель (8.6) имеет вид:
, (8.8)
где 
- вектор-столбец наблюдений значений отклика; 
- вектор-столбец погрешностей.
Стандартный способ определения значений В - применение метода наименьших квадратов:
. (8.9)
В статистическом анализе фундаментальную роль играет информационная матрица 
, а также обратная ей дисперсионная матрица. Выбором элементов матрицы плана (матрицы Х) можно определённым образом формировать статистические свойства модели.
Для представления планов в стандартной форме их обычно центрируют с переносом начала координат в центр факторного пространства. Кроме того, при составлении матрицы плана независимые переменные х нормируют и задают для них факторное пространство:
– 1 ≤ хі ≤ 1; і = 1, 2, …, п; 
, (8.10)
где 
- значение фактора i в натуральном масштабе; 
- значения координат i-го фактора в центре плана в натуральном масштабе, то есть 
; 
- интервал варьирования i-го фактора, то есть .
При составлении матрицы плана можно задаться условием ротатабельности, которое заключается в том, что дисперсия оценки функции отклика зависит от удаления r точки х от центра плана.
В соответствии с уравнением (8.9) это условие может быть записано так:
;
(8.11)
.
План является насыщенным, если число запросов равно числу коэффициентов модели и ненасыщенным, если число опытов больше числа коэффициентов.
Таким образом, планирование эксперимента заключается в том, чтобы до постановки опытов обеспечить оптимизацию анализа данных, игнорирование которой значительно усложняет вычисления и интерпретацию данных.
Понятие оптимальности плана можно трактовать по-разному. Одну и ту же задачу можно решать с помощью различных планов. Если свойства плана известны, можно осуществить эксперимент и анализ данных с наибольшей эффективностью.
Критерии оптимальности планов связаны со свойствами информационной и дисперсионной матриц [5]. Планы можно формировать с использованием критериев оптимальности оценок коэффициентов, например, с минимизацией обобщённой дисперсии коэффициентов. Обобщённая дисперсия коэффициентов модели определяется как дисперсия вектора коэффициентов, она задаётся определителем дисперсионной матрицы. Чем меньше обобщённая дисперсия, тем меньше определитель. Для ортогональных планов обобщённая дисперсия равна произведению дисперсий коэффициентов модели. Подобная оптимальность планов называется D-оптимальностью (по первой букве слова Determinant - определитель). При D-оптимальности точность определения одного коэффициента может быть повышена за счёт снижения точности определения других. Если экспериментатора не удовлетворяет ситуация, в которой он рискует получить некоторые коэффициенты с очень большими дисперсиями оценок, то он может применить другие критерии оптимальности. Например, использовать А-оптимальные планы (от слов Average value - среднее значение), для которых характерна минимальная средняя дисперсия оценок коэффициентов.
При этом точность оценок всех коэффициентов будет одинаковой. А-оптимальным планам соответствует минимум следа дисперсионной матрицы, то есть минимум суммы диагональных элементов. Можно принять условия, при которых дисперсии оценок коэффициентов не были бы слишком велики. Этим требованиям соответствуют Е- оптимальные планы (от слов Eigen value - собственное значение), в которых минимизируется максимальное собственное число дисперсионной матрицы. Используют также другие критерии оптимальности планов. Среди критериев оптимальности планов, связанных с прогнозными свойствами модели, можно назвать G-критерий, который минимизирует максимальную дисперсию прогноза. К планам, связанным с прогнозными свойствами модели, относятся ротатабельные планы.При осуществлении любого эксперимента естественно желание экспериментатора сократить число экспериментов, упростить расчёты, перейти от простой модели, например, первого порядка, к более сложным, используя результатов предыдущих опытов (свойство композиционности плана) - эти требования необходимо учитывать при выборе того или иного плана.
Очень немногие планы одновременно удовлетворяют различным критериям оптимальности. Часто критерии оптимальности противоречивы, поэтому экспериментатору следует искать компромиссный план: оптимальный по одному критерию и квазиоптимальный по другим.
Рассмотрим несколько наиболее показательных планов эксперимента, которые могут быть использованы при исследовании обогатительных процессов и аппаратов.