Методологические проблемы о математических доказательствах.

Мы можем упрощенно различать два главных подхода ученых к математике. Одни математики могут интересоваться главным образом теоремами — истинностью или ошибочностью математических суждений, другие — главным образом доказательствами: вопросами существования доказательств той или иной теоремы и спецификой таких доказательств.

Это также ведет к отрицанию Брауэром «платонизма», под которым мы понимаем учение, согласно которому математические объекты обладают тем, что я называю «автономным» способом существования: они могут существовать, не будучи созданными нами и, следовательно, без доказательства своего существования.

До сих пор я пытался понять брауэровскую эпистемологию, исходя из предположения прежде всего, что она проистекает из попытки решить трудности философии математики Канта.

Исходя из положений настоящего доклада, можно утверждать, что одним из великих достижений Брауэра, по моему мнению, является его понимание того, что математика и, как я могу добавить, весь третий мир созданы человеком.

Эта идея является настолько радикально антиплато- новской, что Брауэр, понятно, не видел возможности ее связи с некоторой формой платонизма, под которой я имею в виду концепцию частичной автономии математики и третьего мира в том виде, как она описана выше, в разд. 3.

Другим великим достижением Брауэра в философском плане был его антиформализм — признание им того, что математические объекты должны существо- .вать до того, как мы можем говорить о них.

Позвольте теперь мне вернуться к критике брауэров- ского решения трех групп главных проблем философии математики, сформулированных ранее в данном разделе.

(Г) Эпистемологические проблемы: интуиция в целом и теория времени в частности.

Я не предлагаю заменить название «интуиционизм». Это название, без сомнения, сохранится, но нам важна отказаться от ошибочной философии интуиции как непогрешимого источника знания.

Не существует авторитетных источников знания, н ни один «источник» не является абсолютно надежным[165]. Все приветствуется как источник вдохновения, стимулирования, включая «интуицию», особенно если она предлагает нам новые проблемы. Однако ничто не является несомненным, и все мы подвержены ошибкам.

К тому же следует подчеркнуть, что кантовское четкое различение между интуицией и дискурсивным мышлением не может быть нами принято. «Интуиция», какой бы она ни была, в значительной степени является продуктом нашего культурного развития и наших успехов в дискурсивном мышлении. Кантовская идея об одном стандартном типе чистой интуиции, присущем всем нам (по всей вероятности, только не животным, хотя их перцептуальные возможности сходны с человеческими), едва ли может быть принята.

Все сказанное справедливо и в отношении нашей интуиции времени. Я лично считаю сообщение Уорфа о чрезвычайно специфической интуиции времени индейцев племени хопп (см. [55]) убедительным. Однако даже если это сообщение ошибочно (что, я думаю, маловероятно), оно свидетельствует о возможностях, которою ни Кант, ни Брауэр никогда не рассматривали. Если Уорф прав, тогда наше интуитивное понимание времени, то есть способ, которым мы «видим» временные отношения, частично зависит от нашего языка, наших теорий и мифов, включенных в язык, иначе говоря — наша европейская интуиция времени в значительной степени обусловлена греческим происхождением нашей¦ цивилизации с его акцентом на дискурсивное мышление.

В любом случае наша интуиция времени может меняться с изменением наших теорий. Интуиции Ньютона, Канта и Лапласа отличаются от интуиции Эйнштейна, и роль времени в физике элементарных частиц отличается от роли времени в физике твердого тела, особенно в оптике. В то время как физика элементарных частиц утверждает о существовании лезвие- подобного непротяженного мгновения, «pimctum tem- poris», которое отделяет прошлое от будущего, и тем, самым существование временной координаты, образованной из (континуума) непротяженных мгновений, а в конечном итоге мира, «состояние» которого может быть задано для любого такого непротяженного мгновения, ситуация в оптике совершенно другая. Подобно тому как существуют пространственно протяженные растры в оптике, чьи части взаимодействуют на значительном- пространственном расстоянии, так существуют и протяженные во времени события (волны, обладающие частотами), чьи части взаимодействуют в течение значительного промежутка времени. Поэтому в силу законов оптики в физике не может быть какого-либо состояния мира в некоторый момент времени. Эта аргументация должна дать и действительно дает совершенно другое понимание нашей интуиции: то, что называлось неопределенным психологическим даром, не является ни неопределенным, ни характерным только для психологии, интуиция подлинна и имеет место уже в физике[166].

Таким образом, не только общая концепция интуи- дии как непогрешимого источника знания является мифом, но и наша интуиция времени подвержена критике и исправлению — точно таким же образом, как, соглас- , но брауэровскому допущению, это происходит с нашей • интуицией пространства.

В главном пункте этих своих рассуждений я обязан философии математики Лакатоса. Этот пункт состоит Р том, что математика (а не только естественные науки) растет благодаря критике догадок и выдвижению смелых неформальных доказательств, а это предполагает лингвистическую формулировку таких догадок и Доказательств и поэтому определение их статуса в третьем мире. Язык, являясь вначале просто средством коммуникативного описания долингвистическнх объекТОВ, превращается в силу этого в существенную часть научной деятельности, даже в математике, которая в свою очередь становится частью третьего мира. В языке тем самым существуют слои, или уровни (независимо от того, формализованы они в иерархию метаязыков или нет).

Если бы интуиционистская эпистемология была бы •права, то вопрос о математической компетентности не составлял бы проблемы. (И если бы кантовская теория была бы права, то непонятно, почему мы, а точнее, Платон и его школа, должны были так долго ждать Евклида[167].) Однако эта проблема существует, так как даже весьма компетентные математики-интуициони- сты могут не соглашаться между собой по некоторым трудным вопросам[168]. Для нас нет необходимости исследовать, какая сторона в этом споре права. Достаточно указать, что раз интуиционистское конструирование подвергается критике, то рассматриваемая проблема может быть решена лишь путем существенного использования аргументативной функции языка. Конечно, критическое использование языка, по существу, не предписывает нам использовать аргументы, запрещенные интуиционистской математикой (хотя и здесь существует проблема, как будет показано ниже). Моя точка зрения в данный момент заключается просто в следующем: раз допустимость предложенного интуиционизмом математического конструирования может быть подвергнута сомнению, и, конечно, оно действительно подвергается сомнению, то язык выступает более чем просто средством коммуникации, без которого можно в принципе обойтись: он является необходимым средством критического обсуждения, дискуссии.

Сказанное поясняет, почему я считаю ошибочным субъективистскую эпистемологию Брауэра и философское оправдание его интуиционистской математики. Существует процесс взаимного обмена между конструированием, критикой, «интуицией» и даже традицией, и этот процесс не учитывался Брауэром.

Однако я готов допустить, что даже в своем ошибочном взгляде на статус языка Брауэр частично прав. Хотя объективность всех наук, включая математику, неотделимо связана с их критикуемостыо и тем самым с их лингвистическим формулированием, Брауэр был прав тогда, когда активно выступал против идеи рассматривать математику лишь как формальную языковую игру, или, другими словами, считать, что не существует таких вещей, как внелингвистические математические объекты, то есть мысли (или, более точно, с моей точки зрения, содержание мышления). Он настаивал на том, что беседа на математические темы является беседой об этих объектах, и в этом смысле математический язык выступает вторичным образованием по отношению к этим объектам. Однако это вовсе не означает, что мы можем конструировать математику без языка: не может быть никакого конструирования без постоянного критического контроля и никакой критики без выражения наших конструктов в лингвистической форме и обращения с ними как с объектами третьего мира. Хотя третий мир не идентичен миру лингвистических форм, он возникает вместе с аргументативной функцией языка, то есть является побочным продуктом языка. Это объясняет, почему, раз наши конструкции делаются проблематичными, систематизированными и аксиоматизированными, язык может сделаться также проблематичным и почему формализация может сделаться отраслью математического конструирования. Именно это, я думаю, имеет в виду Майхилл, когда он говорит, что «наши формализации исправляют наши интуиции, в то время как наши интуиции формируют наши формализации» [37, с. 175] (курсив мой). То, что делает это высказывание заслуживающим цитирования, состоит в том, что оно, будучи сделанным в связи с брауэровской концепцией интуиционистского доказательства, в действительности помогает исправлению брауэровской эпистемологии.