3.2.1. Вопросы сходства и различия объектов при применении методов целостной оценки
Каждая новая машина в той или иной степени оригинальна и чем-то отличается от ранее созданных. Поэтому основной вопрос, который возникает у специалистов по технико-экономическому анализу, состоит в том, насколько правомерно применять к новой конструкции оценки, полученные на основе анализа старых конструкций.
Чтобы утвердительно ответить на этот вопрос, нужно уметь правильно отобрать из всей совокупности известных машин такую группу, которая объединяет машины, действительно похожие на новую.При сравнении конструкций машин между собой обнаруживается их сходство и соответственно различие. Установление сходства осуществляется последовательно по трем уровням.
Первый уровень — это функциональное сходство, т. е. сходство машин по составу выполняемых ими функций. Функциональное сходство, как впрочем и сходство по любому другому признаку, может быть полным и частичным. Полное сходство предполагает одинаковый состав функций у сравниваемых объектов. Положим, имеется две машины. Первая машина обладает некоторым конечным множеством функций і7!, вторая — также множеством функций F2. Полное функциональное сходство означает равенство указанных множеств: Fx = F2.
Частичное функциональное сходство означает, что у сравниваемых машин одинаковы не все, а только часть функций. Здесь возможны два случая. Первый случай: одинаковые функции образуют некоторое подмножество Ф, являющееся пересечением (или Произведением) множеств F± и Г2, Т. Є. Ф = Т7! П F2. Второй случай: одна из машин, например первая имеет все функции, какие есть у второй, и, кроме того, еще ряд других функций, т. е. первая машина более универсальна, чем вторая. Это соотношение означает, что множество F2 входит в множество Fl9 т. е. Fа с F,.
Наиболее часто на практике встречается приблизительное сходство, занимающее промежуточное положение между полным и частичным сходством.
Второй уровень означает конструктивное сходство, т. е. сходство машин по конструктивной схеме, составу и однородности элементов, компоновке. В конструктивно похожих машинах реализуется одна и та же принципиальная схема или идея, встречаются одинаковые или подобные агрегаты и сборочные единицы, часто наблюдается схожесть и во внешнем оформлении. Как и функциональное, сходство конструктивное может быть полным, частичным и приблизительным. Конструктивно подобные машины, объединяемые в параметрические ряды или гаммы, обладают либо полным, либо приблизительным конструктивным сходством. Примером частичного сходства является сходство между станком и автоматом, построенном на базе этого станка.
В таком автомате наряду со сборочными единицами самого станка добавляются устройства и системы автоматизации вспомогательных переходов и управления. Обычно конструктивное сходство машин устанавливается опросом экспертов, которые руководствуются рядом признаков.
Следует отметить, что в обнаружении и обосновании конструктивного сходства весьма полезными оказываются методы теории подобия и моделирования. Эта теория позволяет в большом многообразии объектов и процессов выделить то общее и существенное, что их объединяет, и получить тем самым единое описание анализируемых объектов и процессов.
Положения и методы теории подобия и моделирования зародились и нашли довольно широкое применение в исследованиях различных физических явлений. Теоремами и принципами этой теории давно пользуются исследователи в области механики, гидро- и аэромеханики, электротехники, термодинамики, физики и других наук. В последние годы появились немногочисленные работы по применению теории подобия и моделирования к решению технико-экономических задач.
Третий уровень сходства машин касается их сходства по значениям параметров, т. е. сходство параметрическое. Если имеет место сходство машин по функциям и конструкции, то это предполагает наличие одинакового состава параметров. Значения одних параметров могут совпадать, а других нет, т.
е., как правило, наблюдается частичное параметрическое сходство. Так, при частичном параметрическом сходстве функционально и конструктивно похожие машины могут различаться по габаритным размерам, массе, производительности, надежности и т. д.При полном сходстве принято говорить об идентичности, при приблизительном и частичном сходстве — об аналогии. Выбор аналогов — важный вопрос не только в технико-экономическом анализе, но также и в теории экономической эффективности и в ценообразовании. Ведь показатели и свойства базы сравнения определяют в решающей степени сравнительную экономическую эффективность нового образца машины и уровень верхнего предела цены.
Чтобы использовать методы целостной оценки себестоимости, необходимо предварительно решить задачу формирования групп конструктивно подобных и аналогичных машин с тем, чтобы новую машину можно было с уверенностью отнести к этой группе. Прежде всего выделяется совокупность машин, обладающих функциональным и конструктивным сходством. Затем полученная совокупность машин разбивается на группы с достаточно большим параметрическим сходством.
При формировании групп однородных объектов сталкиваются со следующим противоречием. Множество объектов, в частности машин, конечно. Поэтому, если стремиться, как можно, к более близкому сходству машин в каждой группе, то это приводит к образованию малочисленных групп и, следовательно, к статистически ненадежным выводам об обнаруженных внутри групп закономерностях. Наоборот, объединение машин в крупные группы, хотя и увеличивает объемы групповых выборок, однако может привести к серьезным ошибкам, связанным с неоднородностью исходных данных. Поэтому нужно добиваться такого разбиения объектов на группы, чтобы объекты, принадлежащие одной и той же группе, были бы достаточно сходными, в то время как объекты, относящиеся к разным группам, различались бы существенно. Степень параметрического сходства может быть количественно оценена методами кластерного анализа [3.6].
Положим, имеется п объектов (машин).
Для каждого /-го объекта можно записать вектор, состоящий из р характеризующих этот объект параметров Yt = (уи y2i ... ур[). Таким образом, всю информацию о параметрах анализируемых машин можно представить в виде матрицы размером рХп:(3.1)
Однако отдельные параметры машин характеризуют разные их свойства и выражены в различных единицах измерения. Чтобы перейти к определению количественных мер сходства (или различия) объектов, необходимо прежде всего выполнить так называемое нормирование параметров, т. е. переход от абсолютных величин ук к вспомогательным относительным величинам xk, представляющих собой отклонение параметра от среднего значения, выраженного в долях среднего квадратического отклонения. Этот прием нормирования хорошо известен из курса математической статистики [3.17, с. 120]:
где ук — среднее значение 6-го параметра; ок — среднее квадратического отклонения amp;-го параметра.
При переходе от одного образца машины к другому каждый параметр принимает то или иное значение, т. е. варьирует, причем степень варьирования различных параметров разная. Можно допустить, что вариационный ряд любого параметра по своему характеру близок к равномерному распределению, т. е. вероятность появления определенного значения параметра в некотором интервале (ак, Ък) примерно постоянна.
Для равномерного распределения плотность вероятности описывается следующей функцией:
Подставив выражения (3.3) и (3.4) в формулу (3.2) и выполнив преобразования, получим
В данном случае ак — нижнее, а Ьк — верхнее значение в вариационном ряду параметра хк. При равномерном законе распределения статистические характеристики ук и ок находятся следующим образом:
В результате нормирования параметров матрица вида (3.1) трансформируется в матрицу, состоящую из нормированных параметров:
Выделим из этого множества два каких-либо объекта, например, i-й И /-Й объекты, которым соответствуют векторы Xi и Х}.
Нужно количественно измерить, насколько сходны эти объекты. В теории кластерного анализа мерой сходства объектов (соответственно их векторов) является некоторая неотрицательная вещественная функция 5 (Xh Xj) = Sij, которая обладает следующими свойствами:
Величину Sij будем просто называть коэффициентом сходства. В противоположность функции сходства мерой различия объектов является так называемая функция расстояния. Разработаны несколько видов функций расстояний и сходства. Мы воспользуемся наиболее употребляемой функцией сходства, получаемой преобразованием из функции эвклидова расстояния:
где dij — расстояние как мера различия двух сравниваемых объектов.
Функция эвклидова расстояния имеет вид
где xki и xkj — k-й параметр, принадлежащий соответственно і-му и /-му объектам, причем k = 1, 2, ..., р. Другие функции расстояния описаны в работе [3.6].
Рассмотрим пример. В табл. 3.1 приведены основные параметры конструктивно подобных горячештамповочных прессов. Необходимо оценить степень параметрического сходства для каждой пары прессов.
На основе анализа и обобщения сведений об отечественных и зарубежных конструкциях прессов, опроса специалистов уста-
Основные параметры горячештамповочных прессов
Модель | пресса | ||||||
N°. по пор. | Параметр | 00 со ю СО * | о ю оо | ю ОО | Tf1 Ю ОО | СО ю ОО lt; | 00 ОО ю о о * |
1 | Номинальное усилие, тс | 630 | 1000 | 1600 | 2500 | 4000 | 6300 |
2 | Число ходов ползуна в минуту | 90 | 80 | 75 | 60 | 50 | 40 |
3 | Ход ползуна, мм | 200 | 250 | 300 | 350 | 400 | 460 |
4 | Закрытая высота, мм | 560 | 560 | 660 | 890 | 1000 | 1160 |
5 | Размер стола спереди назад, мм | 640 | 770 | 940 | 1200 | 1570 | 1900 |
6 | Жесткость пресса, тс/мм | 460 | 530 | 700 | 900 | 1265 | 1300 |
навливаются для каждого параметра граничные значения ак и bk при осуществлении заданного конструктивного принципа и рассчитывают нормированные значения параметров по формуле (3.5).
Результаты расчетов приведены в табл. 3.2.Для начала определим коэффициент сходства пресса 1 усилием 630 тс и пресса 2 усилием 1000 тс. Порядок расчета показан в табл. 3.3.
Таблица 3.2
Нормированные значения параметров прессов
N° параметра | ak | ьк | Пресс | |||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |||
1 | 630 | 6300 | —1,73* | —1,504 | —1,138 | —0,589 | 0,326 | 1,73 |
2 | 30 | 100 | 1,234 | 0,741 | 0,494 | -0,247 | —0,741 | —1,23 |
3 | 200 | 500 | —1,73 | —1,153 | —0,577 | 0,000 | 0,577 | 1,268 |
4 | 560 | 1500 | —1,73 | —1,73 | —1,362 | -0,515 | —0,110 | 0,478 |
5 | 600 | 2000 | —1,63 | —1,310 | —0,890 | —0,247 | 0,667 | 1,48 |
6 | 320 | 1500 | —1,32 | —1,114 | —0,616 | —0,029 | 1,041 | 1,143 |
Расчет коэффициента сходства прессов 1 и 2
Итого . . . . 0,767
В итоге всех расчетов получаем матрицу сходства:
1 | 0,533 | 0,352 | 0,227 | 0,162 | 0,126 |
0,533 | 1 | 0,490 | 0,275 | 0,184 | 0,140 |
0,352 | 0,490 | 1 | 0,380 | 0,226 | 0,162 |
0,227 | 0,275 | 0,380 | 1 | 0,346 | 0,215 |
0,162 | 0,184 | 0,226 | 0,346 | 1 | 0,342 |
0,126 | 0,140 | 0,162 | 0,215 | 0,342 | 1 |
и соответственно матрицу расстояний
0 | 0,876 | 1,841 | 3,405 | 5,173 | 6,936 |
0,876 | 0 | 1,041 | 2,636 | 4,435 | 6,143 |
1,841 | 1,041 | 0 | 1,631 | 3,425 | 5,173 |
3,405 | 2,636 | 1,631 | 0 | 1,890 | 3,651 |
5,173 | 4,435 | 3,425 | 1,890 | 0 | 1,924 |
6,936 | 6,143 | 5,173 | 3,651 | 1,924 | 0 |
Матрицы сходства и расстояний показывают, что существующий параметрический ряд прессов построен так, что с* ростом усилия каждый последующий пресс в большей степени отличается от его предшествующего. Так, сходство между прессами усилием 630 и 1000 тс составляет s12 = 0,533, а сходство между прессами усилием 4000 и 6300 тс — s66 = 0,342.
Оценка меры сходства (соответственно различия) между объектами методами кластерного анализа позволяет решать и другую важную для технико-экономического анализа задачу — комплектование групп сходных однородных объектов (кластеров). Процесс разбиения исходного множества объектов на небольшое число кластеров (подмножеств) называется кластеризацией.
Разбиение на группы (кластеры) можно выполнить многими способами, поэтому в качестве оптимального выбирается такой вариант разбиения, когда достигается минимум (или максимум) некоторой целевой функции. Чаще всего условие оптимума заключается в минимизации внутригрупповой суммы квадратов отклонений.
Внутригрупповая сумма квадратов отклонений рассчитывается следующим образом. Вначале определяем вектор средних значений параметров:
Пусть необходимо рассматриваемую совокупность прессов разбить на две группы. Из рассмотрения матрицы сходства S можно заключить, что возможны два варианта разбиения. Первый вариант, когда прессы 1—3 объединяем в одну группу, а прессы 4—6 — в другую. Второй вариант, когда в первую группу объединяем прессы 1—4, а во вторую — прессы 5 и 6.
Внутригрупповые суммы квадратов отклонений при первом варианте разбиения рассчитываем по сЬоомуле (3.7Г получим
Общая сумма квадратов отклонений W = =
= 8,615. Внутригрупповые суммы квадратов отклонений при втором варианте разбиения составят
Общая сумма квадратов отклонений при втором варианте
Таким образом, второму варианту разбиения следует отдать предпочтение, так как он дает меньшую сумму квадратов отклонений, чем первый.
Если же требуется разбить всю совокупность прессов на три группы, то, как показывают расчеты, наилучшим следует считать такой вариант разбиения: первая группа — прессы 1—3, вторая — прессы 4 и 5, третья — пресс 6. При этом общая сумма квадратов отклонений составит 3,533.
Вопрос о том, какое число групп следует скомплектовать из имеющейся совокупности объектов, решается в каждом конкретном случае по-разному и определяется двумя основными моментами: требуемой степенью внутригруппового сходства объектов и размером имеющегося исходного множества объектов.
Использование процедур кластеризации повышает точность и надежность рассматриваемых ниже методов целостной оценки себестоимости проектируемых машин.