1.2. Логические операции
Для изучения логических операций введем следующую систему обозначений:
· простые высказывания будем обозначать буквами a, b, c, …, x, y ,z;
· значения истинности будем обозначать 1 – истинно, 0 – ложно.
Действия логических операций будем представлять в виде таблиц истинности.
1. Отрицание или инверсия (O – НЕ)
Пример.
а: 7 делится на 5 без остатка.
Oа: Неверно, что 7 делится на 5 без остатка.
| а | Oа |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Эта таблица и принимается в качестве определения операции отрицания.
2. Конъюнкция ( Ù,&, ·, логическое И )
Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание а&b истинно только в том случае, когда оба высказывания (а и b) имеют значение истинно.
| а | b | а&b |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Примеры.
а. 6 делится на 3 без остатка (1);
b. 10 больше 5 (1);
с. 7 делится на 3 без остатка (0);
d. 3 больше 7 (0);
a&b=1
a&c=0
c&d=0
3. Дизъюнкция (U,+,логическое ИЛИ)
Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание аUв ложно только в том случае, когда оба высказывания (а и в) ложны.
| a | b | aUb |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Примеры.
аUb=1
aUc=1
cUd=0
4. Импликация (
) “если а, то b”
Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание а
b ложно только в том случае, когда а истинно, а b – ложно.
| a | b | ab |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
А называется антецедентом, а b – консеквентом.
5. Эквивалентность (~
)
Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание а~b истинно, если а истинно и b истинно, или если а ложно и b ложно.
| a | b | a~b |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Эквивалентность примерно соответствует употреблению выражения «тогда и только тогда».
6. сумма по модулю два 
| a | b | ab |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
7. Штрих Шеффера ( ê, обратная конъюнкция И – НЕ)
| a | b | a ê b |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
8. Стрелка Пирса (
, обратная дизъюнкция ИЛИ – НЕ )
| a | b | ab |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Используя эти логические операции можно строить сколь угодно сложные высказывания.
Приоритет выполнения операций:
⌐ & U ~ ê
Пример: Сложное высказывание: «Если вы не пропускаете занятия и успешно занимаетесь, то Вы сдадите экзамен хорошо» можно записать следующим образом. Обозначим:
П – пропускаете занятия;
Y – успешно занимаетесь;
Х – сдадите экзамен хорошо,
тогда все высказывание запишется:
Значение истинности всего выражения будет зависеть от истинности переменных обозначающих простые высказывания.
Пример.
Пусть a=1, b=0, c=0, d=1.
Символы ⌐ & U ~ ê называются пропозициональными связками, a, b, c, … и т. д. - пропозициональными переменными. Выражение, построенное из пропозициональных переменных с помощью пропозициональных связок, называется пропозициональной формой или формулой.