Приложение 5А. Математическое выражение потребительского равновесия

Потребитель может или израсходовать, или сберечь весь свой доход, так что

где / — доход потребителя;

Хѵ Хѵ ...

Потребитель хочет максимизировать

во исполнение ограничения уравнения (1).

Уравнение (2) максимизировано, если каждая из его частных производных и уравнение ограничения равны нулю. Однако это дает систему из (п + 1)-го уравнения с п переменными, которая не может быть решена. Следовательно, должна быть введена искусственная переменная, известная под названием множителя Лагранжа. Греческая буква «лямбда» (к) обычно используется в качестве символа для множителя Лагранжа.

Приравняем уравнение ограничения к нулю, умножим его на к и сложим полученный результат с уравнением (2). Это дает

Предельная полезность каждого товара является его собственной частной производной. Взяв частные производные от уравнения (3), мы получаем

Уравнение (7) говорит о том, что весь доход израсходован (или сбережен), если общая полезность является максимальной. Разделив уравнения (4), (5) и (6) на Рѵ Р2, ... , Р", соответственно, мы получаем

Вещи, равные одной и той же вещи, равны также и друг другу. Поскольку деньги — это один из товаров, мы делаем вывод, что общая полезность максимальна, если предельная полезность последнего истраченного или сохраненного доллара одинакова для всех товаров, т.е.