РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАТРАТ

членами команды.

Рассмотрим следующую модель деятельности команды из n агентов, каждый из которых использует некоторый ресурс, «стоимость» которого зависит от суммарного спроса. Обозначим через x, > 0 - действие i-го агента - количество ресурса, которое он использует, i e N = {1, 2, ..., n}. В зависимости от своего типа r, e W, и своего выбора x, i-ый агент получает доход hi(xi, ri) и несет затраты 1,(x), где x = (xb x2, ..., xn) - вектор действий агентов, то есть его целевая функция равна (1) fi(x, ri) = hi(xi, r,) - 1(x), i e N.

Стоимость «ресурса», используемого агентами, зависит от суммы их действий X = ? x, , то есть, известна функция «суммарных

ieN

затрат» C(X). Задачей является нахождение правила распределения затрат между агентами, то есть поиск функций (11(-))ieN, удовлетворяющих тем или иным требованиям.

Введем следующие предположения:

V i e N, V x e Я + 1,(x) > 0;

V i e N, V x e Я + 1,(x) не убывает по x,;

V x e Я + ?li (x) = C(X);

ieN

V i e N V ri e W, h(0, r) = 0;

V i e N, V x_t e Я Xl(x_l, 0) = 0;

C(-) - неубывающая функция, C(0) = 0;

функции дохода и функция затрат - гладкие.

Первое предположение означает, что затраты агента по полу-чению ресурса неотрицательны (невозможно получение дохода от «продажи излишков», даже при нулевых действиях). В рамах второго предположения, чем больше ресурса использует агент, тем больше он за него платит.

ложение согласованы в том смысле, что, не используя ресурс, агенты не несут затрат и не получают дохода.

Содержательно рассматриваемая модель соответствует проблеме распределения затрат на создание общественного блага, от использования которого каждый из агентов получает некоторый выигрыш [57, 84, 108, 155, 157] . Примерами являются: разработка месторождения полезных ископаемых группой компаний, использование единых вычислительных или информационных ресурсов, оптовые закупки сырья производственным объединением, производство продукции в регионе с учетом затрат на подержание экологической безопасности и др. При этом функция затрат может быть, в том числе, выпуклой (например, в эколого-экономической интерпретации) или вогнутой (например, скидки при оптовых закупках - чем больше объем закупаемой партии, тем меньше стоимость единицы сырья).

Предположим, что все вышеописанные параметры «команды» являются общим знанием среди ее членов. В рамках рассматриваемой модели имеет место игра агентов. Равновесие Нэша:

ВДО, r) = {x e К + | " i e N, " yt > 0

h1(x1, ri) - 1,(x) > h1(y„ ri) - 1(x-,, y,)} зависит от вектора типов агентов r = (rb r2, ..., rn) e W = ^ W. и

ie N

процедуры (механизма) распределения затрат

l(') = (МО, МО, МО).

Определим множество векторов действий агентов, доставляющих максимум сумме их целевых функций:

P(r) = Arg max [ ? h (^, r,) - С(Х)].

ieN

Очевидно, любая точка множества (2) эффективна по Парето.

Как известно из теории игр [29, 81, 127, 159], концепция равновесия Нэша отражает устойчивость исхода взаимодействия игроков относительно их индивидуальных отклонений, в то время

как эффективность по Парето соответствует коллективному оптимуму (в случае, если допустимы трансферты полезности между игроками, исход их взаимодействия будет соответствовать множеству (2) [24, 66]).

Итак, спрашивается, возможно ли устойчивое функционирование команды, под которым условимся понимать выбор всеми агентами в равновесии ненулевых действий и выполнение условия

- принадлежность Парето-эффективной точки множеству равновесий Нэша? Ответ на этот вопрос неоднозначен - требуются дополнительные предположения. Рассмотрим некоторые из возможных вариантов, иллюстрирующих многообразие возможных результатов взаимодействия членов команды.

Вариант 1. Предположим, что Ю)}, e N - гладкие функции (можно ограничиться требованием дифференцируемости), целевые функции агентов и сумма их целевых функций вогнуты по действиям соответствующих агентов. Вектор действий x принадлежит

множеству P(r), если (при X = ? x, ) выполнено

ieN

^ (x*,Г) = C'(X*), i е N.

Если потребовать, чтобы вектор x был равновесием Нэша игры агентов, то из (1) в предположении «внутреннего решения» получим следующее условие:

(x*, r,) = (x *), i е N. Из (4) и (5) получаем:

(x*) = C'(X*), i е N.

Из предположения 3 следует, что

El* (x*) = C'X).

ieN

Условия (6) и (7) противоречат друг другу. Таким образом, при гладких функциях «затрат» агентов анализ «дифференциальных» условий эффективности по Парето и устойчивости по

111

Нэшу приводит к выводу, что в этом случае невозможно устойчивое функционирование команды. Данный результат (с точностью до замены дохода на затраты и суммы действий на агрегированный результат команды) следует идеологии теоремы Б. Холмстрома (см. раздел 2.3 и [140]).

Пример 7.1. Рассмотрим процедуру пропорционального распределения затрат, в которой агенты делят между собой стоимость ресурса пропорционально выбираемым действиям:

xi

1(x) = C(X) i е N.

L xJ

jeN

Легко видеть, что процедура (8) является гладкой и удовле-творяет условиям 1-3 и 5.

Обозначим X-i = L xj .

j &

всем агентам, получим: C(X) = X C (X).

Подставляя (8) в (7) получим: (n - 1) C(X) / X* = 0. Противоречие. •

Вариант 2. Пусть типы агентов (множество W) таковы, что последних можно упорядочить по эффективности в следующем смысле:

" r е W hu (t,rx) > h21 (t,r2) > ... > (t, rn).

Из предположений 1-7 и условия (9) следует, что, если в силу свойств функции затрат агентам выгодно (с точки зрения суммы целевых функций) ненулевое суммарное производство, то множество (2) имеет следующую структуру: первый агент выбирает

такое действие X, при котором h . (X *, r) = C(X), а действия

остальных агентов равны нулю. При этом 11(x) = C(x).

Такая оптимальная по Парето ситуация может оказаться неустойчивой по Нэшу. Кроме того, в рассматриваемом варианте устойчивое функционирование команды невозможно, так как все агенты, кроме первого, выбирают нулевые действия.

Пример 7.2. Предположим, что функции дохода агентов линейны: hi(xi, ri) = r. x., причем r1 > r2 > ... > rn, а функция затрат C(-) строго выпукла. Тогда

arg max [ Lh, (^, r,) - С(X)] = (C >1), 0, 0).

ieN

Если функция затрат C(-) строго вогнута, то агентам выгодно выбирать как можно большие действия. •

Таким образом, если члены однородной команды таковы, что их можно упорядочить по эффективности деятельности, и это упорядочение не зависит от «объемов производства», то устойчивое функционирование команды невозможно.

Вариант 3. Откажемся от условий 2 и 5, а также от гладкости функций затрат агентов и воспользуемся общими подходами к решению задач коллективного стимулирования [70], кратко изложенными в разделе 2.3 выше.

Фиксируем вектор x действий агентов, доставляющих максимум суммы их выигрышей за вычетом суммарных затрат (см. выражение (2)).

Будем искать функции распределения затрат вида

1®,., x. = x*

l(x) = *, i e N,

C(xi X x & xi

34

удовлетворяющие условию

L®i = C(X*)

ie N

и обеспечивающие выбор агентами вектора действий x как равновесия Нэша их игры.

h,( x* , ri) - w, > max [h.(yb r.) - C(y,)], i e N.

y.i >0

Добавим также условие участия (необходимо обеспечить каждому агенту в равновесии неотрицательный выигрыш):

w, < h,( x*, ri), i e N.

В качестве отступления отметим, что мы априори отказываемся от возможности «неограниченно сильных штрафов», так как, если в выражении (10) считать бесконечными затраты агента в

случае выбора неравновесного действия, то выбор Парето- оптимального действия сразу становится для него единственно возможным вариантом. Возможность использования в командах (даже в виде «угрозы») неограниченных штрафов трудно интерпретируема.

Кроме того, возможен и следующий достаточно простой вариант - использовать следующую систему стимулирования:

I w,, x, = x, (10') 1(x) = \ 1 1 i e N,

[hi (x,r,),x, * x,

при которой вектор x будет равновесием Нэша игры агентов при любой процедуре распределения ресурса {w,}, e N, удовлетворяющей условию (13). В рамках процедуры (10') в случае выбора «неравновесного» действия у агента изымается весь доход, при этом его выигрыш равен нулю (как и в случае нулевого действия). Как правило, такие процедуры характерны не для команд, в которых все агенты относительно равноправны, а для иерархических организационных систем, в которых управляющий орган наделен властью осуществлять существенное перераспределение выигрышей подчиненных ему агентов (включая, быть может, наложение штрафов, установление системы трансфертов и т.п.) [66, 67].

Вернемся к анализу условий (12). Отметим, что условие (12), записанное для каждого отдельного агента, не содержит обстановки игры для этого агента. Следовательно, если (12) имеет место, то x - равновесие в доминантных стратегиях (РДС) игры агентов (напомним, что РДС - такой вектор действий игроков, выбор соответствующей компоненты которого выгоден каждому из игроков, независимо от того, какие действия выбирают другие игроки [29]). ^

Обозначим f.

У Й0

рый i-ый агент может получить, используя ресурс в одиночку (в отсутствии других агентов), i e N. Из (12) получаем:

(14) w, < h,(x*, r,) - I, i e N.

Утверждение 7.1. Для устойчивого функционирования команды достаточно существования вектора w = (wb w2, ..., w„), удовлетворяющего условиям (11) и (14).

Суммируя (14) по всем агентам, получаем, что справедливо следующее утверждение.

Утверждение 7.2. Для устойчивого функционирования команды необходимо выполнение следующего условия

C(X*) < X [hi(x*, r.) - ft ].

ie N

Условие (15) имеет простую содержательную интерпретацию: вспоминая, что x* = arg max [ X h. (x., r ) - C(X)], запишем (15) в

ieN

виде следующего условия наличия синергетического эффекта:

max [Xh(x.,r*) - С(Х)] > Xmax[hy r) - C(y)],

ieN ieN y. >Q

отражающего то свойство команды, что в ней максимальное значение суммы выигрышей агентов (при совместной деятельности) не меньше, чем сумма максимальных выигрышей агентов, действующих поодиночке (в системном анализе это свойство называют эмерджентност ью).

Отметим, что «техника» анализа данного варианта процедур распределения затрат во многом аналогична методам исследования механизмов функционирования организационных систем с распределенным контролем [72].

Таким образом, условием устойчивого функционирования команды является наличие синергетического взаимодействия ее членов.

Пример 7.3. Предположим, что функции дохода агентов линейны: hi(xi, r.) = r. xi e N, а функция затрат выпукла и имеет вид

C(X) = X2 /2 R, где R > 0. Вычисляем: ft = (r.)2 R /2, i e N. Усло-вие (16) не выполнено.

Пример 7.4. Предположим, что n = 2, h1(x1, r1) = r1 x1, h2(x2, r2) = r2 x2 + а при x2 > 0, r1 > r2, a > 0, C(X) = X2 / 2. Вычисляем: fr = (n)2 / 2, f2 = (r2)2 / 2 + a.

Если второй агент выбирает нулевое действие, то максимум суммы выигрышей агентов равен (r1)2 / 2.

Если второй агент выбирает близкое к нулю, но строго положительное действие e, то суммарный выигрыш агентов равен (r1)2 / 2 - (r1 - r2) e + a, то есть, условие (16) принимает вид:

a

8 <

r1 r2

Из (11)-( 13) получаем, что процедура распределения затрат (w1, w2) должна удовлетворять следующей системе неравенств:

w1 < r1(r1 -e) (17) < w2 < r28 + a .

w1 + w2 = (rj)2 /2

Рассмотрим числовой пример. Пусть r1 = 2, r2 = 1, a = 1. Тогда имеем при ограничении 8 e (0; 1] целое множество процедур распределения ресурса:

{(w1, w2) | w1 = 2 - w2; w2 < 1 + e}, при которых возможно устойчивое функционирование команды. •

В заключение настоящего раздела отметим, что при использовании процедуры распределения затрат (10) взаимная информированность агентов несущественна - вектор типов агентов не обязан быть общим знанием, так как «условие устойчивости» (12) для каждого агента включает только его собственный тип. Условие наличия синергетического эффекта (16) включает типы всех агентов, однако оно должно проверяться, скорее, на этапе синтеза механизма распределения затрат (создания условий деятельности команды) и требует лишь знания истинного вектора типов агентов, не опираясь на какую-то ни было рефлексию.

Итак, основные результаты исследования процедур распределения затрат заключаются в следующем. Во-первых, показано, что при гладких процедурах распределения затрат устойчивое функционирование команды невозможно. Во-вторых, доказано, что, если члены однородной команды таковы, что их можно упорядочить по эффективности деятельности, и это упорядочение не зависит от «объемов производства», то устойчивое функционирование команды также невозможно (наличие абсолютных лидеров разрушает «однородную» команду). И, наконец, в-третьих, обосновано, что условием устойчивого функционирования команды является наличие синергетического взаимодействия ее членов.