4.2. ЗАДАЧА ИНСТИТУЦИОНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ye A
рое универсальное множество X, и задачей центра (задачей институционального управления - как управления ограничениями) является выбор ограничения B сX множества допустимых действий агента с учетом того, что последний выберет действие из множества С(/, B) = Arg max fy).
ye B
Пусть предпочтения центра заданы функционалом Ф(у B): X X 2х ® Ж1, позволяющим сравнивать пары «действие агента - множество его допустимых действий».
Зависимость предпочтений центра от множества B допустимых действий агента обусловлена тем, что введение тех или иных ограничений может потребовать от центра определенных затрат.
Если функционал центра F(y) не зависит от допустимого множества B, то задача институционального управления вырождается: центру достаточно выбрать B = {х}, где х = arg max F(y).yeX
В соответствии с общим подходом теории управления к постановке задачи управления [16, 29, 32], назовем эффективностью институционального управления B сX следующую величину: (1) K(B) = max Ф(у B).
yeC (f, B)
При определении эффективности (1) предполагается, что агент благожелательно настроен к центру и из множества максимумов своей целевой функции выбирает действие, которое наиболее благоприятно с точки зрения центра.
Задача институционального управления заключается в выборе оптимального институционального управления B сX, то есть допустимого управления, имеющего максимальную эффективность:
K(B) ® max,
Be2 X
то есть
B* = arg max max Перебор всех элементов булеана 2 множества X может оказаться чрезвычайно трудоемкой задачей даже в случае конечного множества X. В случае же бесконечного множества X эта задача может оказаться неразрешимой. Предположим, что целевая функция агента непрерывна и действительнозначна, а множество X - компакт в W m. Определим следующие величины и множества: f = min fy), yeX f+ = max fy), ye X l(w) = {y e X \ fy) ?w}, w e [f ; f+], h(w) = {y e X \fy) = w}, w e ff+], L(x) = {y e X \fy) ?fx)}, x e X, x(B) = arg max F(y, B), B сX, yeC (f, B) B(x) = arg max F(y, B), x e X. Be{D e2X | xeC(f ,D)} В рамках введенных определений имеет место x e Cf, L(x)), x e X, h(w) = Cf, l(w)), w e [f-; f+], поэтому задачу (2)-(3) можно записать в виде B* = B(y*), где y* = arg max F(y, B(y)), ye X или в виде B* = arg max Ф(х(Е), B). Be2 X Видно, что задачи нахождения максимумов (14) и (15) в общем случае не проще чем исходная задача (3). Поэтому рассмотрим случай, когда задана параметрическая (с параметрами ае [0; 1] и х0 е X) система множеств Ma, такая, что M0 = х0, M1 = X и " 0 ? а ? Ь ? 1, Ma cMp. Величина а может интерпретироваться как «степень централизации управления» [29] - значение а = 0 соответствует полной централизации («все, кроме х0, запрещено»), значение а = 1 соответствует полной децентрализации («все разрешено»). Определим функционал ФО(У) = Ф(У, Ma), y е X, а е [0; 1]. Тогда при фиксированном х0 е X в качестве институционального управления можно рассматривать параметр а, а его эффективно-стью считать величину (ср. с (1)): K(a) = max FO(y). yeC (f,M a) В рамках рассматриваемой модели задача институционального управления примет вид K(a) ® max, ae[0;1] а оптимальным будет значение a* = arg max max Фо(У). ae[0;1] yeC(f,Ma) По аналогии с (4)-(14) задача (17) может быть преобразована следующим образом. Обозначим х(а) = arg max ФО(У), ае [0; 1], yeC(f,Mа) а(х) = arg max Фо(У), х е X. ae{b e[0;1]| xeC(f,Ma)} y* = arg max ФоОО(У), oe[0;1] Задачи (21) и (22) являются стандартными оптимизационными задачами, поэтому основная сложность заключатся в вычислении зависимостей (19) и (20). Предположим, что функция f) на допустимом множестве X имеет конечное число n локальных максимумов. Обозначим xh x2, ..., xn - точки максимума (как минимум, один из них - глобальный), которые занумерованы так, что Oi ? a2 ?... ? an, где О = min {a e [0; 1] \ x, e Ma}, i = 1,n . Тогда x(a) - непрерывная справа функция с точками разрыва {a}, = 1,n . Обозначим a' = min {a e [0; 1] \ max fy) = max f y)}. yeX yeMa В качестве примера рассмотрим случай, когда X с W, а f() - вогнутая функция. Тогда существует единственный максимум x1 и x(a) - непрерывная функция при a e [0; a] а (22) является стандартной оптимизационной задачей. Пусть X = [0; 1], F(y) = y - gy2, где g> 0 - константа, 2 Г a, a e [0;a'] Ma = [0; a], fy) = y - y. Тогда a' = 1/2, и x(a) = ^ [1/2, a ? [0;a'] а управления является a = { . [1/2, ge [0;1]
(22) a = arg max Oj(x(a)).