§1.13. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении задач на колебательное движение следует использовать кинематические выражения для описания гармонических колебаний: формулы для координаты (1.4.3) и (1.4.4), скорости (1.7.1) и ускорения (1.7.2).

Надо хорошо себе представлять динамику колебаний груза на пружине и математического маятника, знать дифференциальное уравнение гармонических колебаний (1.2.6), уметь составлять уравнения движения, описывающие колебания в простых системах.

Надо также знать формулы для периодов колебаний груза на пружине и математического маятника (1.5.4) и (1.5.6).

Задача 1

Материальная точка массой 50 г колеблется по закону х = 0,05 sin я (0,2f + 0,25) . Напишите уравнения для скорос-ти и ускорения этой точки. Найдите максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

Решение. Согласно формуле (1.7.1) уравнение для скорости точки имеет вид:

U* = ro0*mSin(aV + (f)0+ I)- (1.13.1)

Из данного в условии задачи уравнения для координаты имеем:

хт = 0,05 м, (00 = 0,2я с"1, ф0 = 0,25я рад.

Следовательно,

vx = 0,2я • 0,05 sin (0,2jrf + 0,25я + ,

или

VX = 0,01я sin К (0,2t + 0,75). (1.13.2)? Уравнение для ускорения гармонически колеблющейся точки согласно формуле (1.7.2) выглядит так:

ах = (og*msin((D0? + ф0 + л). (1.13.3)

Подставляя вместо и ф0 их значения, получим:

ах = -0,002л2 sin л (0,2* + 0,25). (1.13.4)

Максимальная сила, действующая на точку, согласно второму закону Ньютона равна:

Fm = тат.

771 771

Из выражения (1.13.4) видно, что ат = 0,002л2 м/с2 = = 0,02 м/с2. Следовательно,

F = 1 • 10"3 Н.

т

Полная энергия колеблющейся точки согласно формуле (1.7.6) равна:

2

mVm

W= .

Из уравнения (1.13.2) находим, что vm = 0,01л м/с, поэтому W~2,5 • 10"6 Дж.

Задача 2

Часы, период колебаний маятника которых Т0 = 1 с, на по-верхности Земли идут точно.

Решение. На поверхности Земли период колебаний маятника равен:

и

Т0 = 2л Ji. (1.13.5)

На высоте h над Землей период колебаний маятника составит

7\ = 2л Д-, (1.13.6)

N = — Jvi TV

где п = 24 • 3600 с. 48

где — ускорение свободного падения на этой высоте. Число колебаний маятника за сутки на высоте h равно:

Следовательно, на высоте h над Землей часы отстанут за сутки на время

Из выражений (1.13.5) и (1.13.6) находим, что отношение периодов равно:

То= R

Tl aJ7 R + h'

где і? = 6400 км — радиус Земли. Следовательно,

At-STA-7F =2'7с- (1ЛЗ-7)

Задача 3 г

Рис. 1.28

Два математических маятника, длиной J каждый, связаны невесомой пружиной (рис. 1.28). Жесткость пружины равна k. При равновесии маятники занимают вертикальное положение, и пру-жина недеформирована. Определите частоты малых колебаний двух связанных маятников в случаях, когда маятники отклонены в одной плоскости на равные углы в одну сторону (колебания в фазе) и в противоположные стороны (колебания в противофазе).

Решение. Отклоним оба маятника от вертикали в одну и ту же сторону на одинаковый угол. Пружина при таком отклонении не будет деформирована. Легко сообразить, что отпущенные из этого положения маятники будут колебаться в фазе с

частотой со = Jj .

V/////////,/,.

J

При отклонении в разные стороны на одинаковые углы колебания маятников будут происходить в противофазе, и пружина будет деформироваться. Для того чтобы подсчитать час-тоту этих колебаний, найдем силу, возвращающую маятники в положение равновесия. При отклонении на угол ср модуль силы, действующей со стороны пружины на тело массой тп, согласно закону Гука равен F = k'Al. Но жесткость половины пружины k' = 2k, а растяжение этой половины M = I sin ф. Следовательно,

F = 2kl sin ф.

Сумма проекций силы тяжести и силы упругости на касательную к окружности (обозначим ее через F) равна:

mg Рис.

F = mg sin ф + 2kl sin ф cos ф (рис. 1.29). Так как при малых углах cos ф = 1, то

( 2 Ы\

F = (mg + 2kl) sin ф или F = m\g + — Jsin ф. Для математического маятника эта проекция равна mg sin ф. При этом частота колебаний при малых углах ф определяется формулой со0 = J^j ¦ В нашем случае роль g играет величина 2 kl

+ ^^. Следовательно, тп СО :

2kl m Период колебаний Т = 2к

2kl m

8 +

(1.13.8) Задача 4

Два неподвижных точечных заряда +50 расположены в точках Б и С на расстоянии г друг от друга. Вдоль оси симметрии системы этих зарядов может перемещаться шарик массой т, несущий точечный заряд —q (рис. 1.30). Считая смещение отрицательного заряда от прямой ВС, соединяющей положительные заряды, малым по сравнению с г, определите период Т колебаний отрицательного заряда.

Решение. Направим ось X вдоль оси симметрии системы данных зарядов (рис. 1.31), а начало координат совместим с серединой отрезка ВС. Сместим заряд -q на небольшое расстояние OA = х от положения равновесия О. Тогда на заряд —q?

со стороны зарядов +qQ начнут действовать силы F1 и F2, стремящиеся вернуть заряд —q снова в положение равновесия.

—»

Проекция равнодействующей F этих сил на ось X равна:

Fx = -2F18ina. (1.13.9)

OA 2х

Так как угол а мал, то sin а = tg а = ^ = — . Модуль силы Fy найдем по закону Кулона:

F =_1

1 г2 2'

4+Х

Смещение х — малая величина, ах2 — величина второго порядка малости и ею можно пренебречь. Следовательно,

V - q°q *1 - 2- ТІ Є0Г

Заменив в выражении (1.13.9) и sin а их значениями, получим:

= (1.13.10)

nt0r

Согласно второму закону Ньютона

fl = — .

х т

Следовательно,

аж = —Зх. (1.13.11)

пептг

Уравнение (1.13.11) описывает гармонические колебания, совершающиеся с циклической частотой 4 q04

со»

цкЕдтг3

Отсюда период колебаний отрицательного заряда будет равен:

2п

пе птг

КГ

Г =

N

(Оп Задача 5

Сложите гармонические колебания:

= f>sin(0t, Х2 = ~2 cos (Of,

ъ • ъ

x3 = Sin COl, = g COS cor.

Определите амплитуду В и начальную фазу ф0 результирующего колебания.

Решение.

xl = bsincdt, х2 = | sin^cot -

ж8= I Sin(COf - 7Г), sin ^соґ - j

и построим векторную диаграмму Рис. 1.32

(рис. 1.32). На векторной диаграмме

модуль вектора В — амплитуда результирующего колебания. Она равна

зьЛ

Из этой же векторной диаграммы находим, что

Ъ_Ъ

2 8 = 1

і Ь 2'

ъе Фо

а ф0 = arctg 2 = 0,464 рад = 26,6°.

УПРАЖНЕНИЕ 1

Период колебаний материальной точки 2,4 с, амплитуда 5 см, начальная фаза равна нулю. Каковы смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки через 0,4 с после начала колебаний? Колебания происходят по закону косинуса.

Маятник, сделанный из ферромагнитного материала, колеблется над полюсом электромагнита. Как изменится частота его собственных колебаний, если через катушку электромагнита пропустить постоянный ток?

При температуре tх = 20 °С период колебаний маятника Тх = 2 с. Во сколько раз изменится период колебаний, если температура возрастет до t2 = 30 °С? Температурный коэффициент линейного расширения материала маятника а = 1,85 • Ю-5 К"1.

Чему равен период колебаний математического маятника, находящегося в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением а?

Оцределите период колебаний маятника в лифте, движущемся вертикально с ускорением а, направленным:

а) вверх;

б) вниз.

Шарик массой т, подвешенный на длинной нити, совершает колебания. Как изменится частота колебаний, если шарику сообщить положительный заряд q и поместить его в

однородное электрическое поле с напряженностью Е, направленной вертикально вниз?

Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если последовательное соединение пружин заменить параллельным?

На горизонтальной поверхности лежат два бруска, массы которых равны соответственно т1 и т2¦ Бруски связаны пружиной жесткостью k. Пружина сжата при помощи двух нитей, как показано на рисунке 1.33. Нити пережигают. Определите период Т колебаний данной системы.

Рис. 1.33

Рис. 1.34

у///////////,

h

фда, в

Рис. 1.35 1. Определите период колебаний маятника при малых углах Р отклонения от вертикали (рис. 1.34). Стержень, на котором помещены шары массами тп1 и т2, считать невесомым.

Шарик массой т, имеющий заряд q, подвешен на нити длиной I (рис. 1.35). На расстоянии h под ним находится проводящая плоскость. Определите период Т свободных колебаний маятника при малых углах отклонения от вертикали.

Два неподвижных точечных заряда +д0 расположены на расстоянии АВ = г друг от друга. Посередине между этими зарядами расположен шарик массой тп, несущий точечный положительный заряд q, который может перемещаться только вдоль линии АВ (рис. 1.36). Определите период Т малых колебаний заряда. В

А

д, тп Рис. 1.36

Представим себе шахту, пронизывающую земной шар по одному из его диаметров. За какое время тело, брошенное в эту шахту, достигнет центра Земли? Сопротивление движению отсутствует.

Складываются два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковыми периодами, равными 8 с, и одинаковыми амплитудами, равными 0,02 м. Сдвиг фаз между колебаниями фс = л/2. Начальная фаза первого ко-лебания равна нулю, его смещение в начальный момент времени тоже равно нулю. Запишите уравнение результирующего колебания.