§1.19. ЗАВИСИМОСТЬ КООРДИНАТИ РАДИУСА-ВЕКТОРА ОТ ВРЕМЕНИПРИ ДВИЖЕНИИ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ

Для полного описания движения с постоянным ускорением надо решить последнюю задачу: найти зависимость координат и радиуса-вектора от времени.

Для всех видов движения координаты точки в любой момент времени можно найти по формулам (1.11.3).

В § 1.6 мы говорили, что изменение координаты при равномерном прямолинейном движении можно найти по площади прямоугольника под графиком проекции скорости: Ах = vzt. Задача упрощалась тем, что vx = const.

При движении с постоянным ускорением проекция скорости не остается постоянной, а изменяется в зависимости от времени по линейному закону. На рисунке 1.56 изображен график

зависимости vx от t для движения с постоянным ускорением, причем ах> 0 и v0x > 0.

Покажем, что в этом случае Ах численно равно площади тра-пеции ОАВС.

Длина отрезка ОС численно равна времени t движения тела. Разделим его на п малых одинаковых интервалов At. Значения проекций скорости, соответствующих серединам этих промежутков времени, обозначим через vXx, v2x, v%x и т. д. Построим на каждом из отрезков, численно равных промежуткам времени At, прямоугольники, высоты которых численно равны проекциям скоростей vlx, v2x, v3x и т. д. Площади этих прямоуголь-ников численно равны изменениям координаты Ах:, Ах2, Ах3, ... за промежутки времени At, если считать, что движение в течение каждого такого промежутка является равномерным.

Нетрудно видеть, что сумма площадей всех прямоугольников равна площади трапеции ОАВС, так как площадь малого прямо-угольника abed равна площади элементарной трапеции ab'c'd.

Все прямоугольники образуют ступенчатую фигуру. Переход от одного прямоугольника к другому происходит скачкообразно, так как мы заменили истинное движение суммой равномерных движений за малые интервалы времени At.

Из курса математики известно, что площадь S трапеции оп-ределяется по формуле

ОА + ВС ш п

ОАВС 2

Длины оснований OA и ВС этой трапеции численно равны проекциям v0x и vx начальной и конечной скоростей, а длина высоты ОС — времени движения t точки. Следовательно,

иПх + Vx

Ах= Ux2 t. (1.19.1)

Учитывая, что

Vx = U0x + ах*>

получим:

Vqx + и0л. + a„t a„t

2

Дх = g * = ио Xі + z

Мы вывели эту формулу для случая, когда v0x > 0 и ах > 0. Можно показать, что она справедлива и тогда, когда одна из этих величин или обе они отрицательны. Желающих приглашаем это сделать.

Проекцию перемещения на ось У можно найти точно таким же способом.

Нам известно, что движение с постоянным ускорением происходит в одной плоскости, в которой расположены векторы v0 и а. Если через эти векторы провести координатную плоскость XOY, то для полного описания движения будет достаточно двух формул для зависимости координат от времени: х(?) и y(t).

Подставляя найденные значения изменения координат в формулы (1.11.3), получим выражения для координат при движении с постоянным ускорением как функции времени:

.2 a t

Х = Х0 + v0xt + , a t2

y = y0 + v0yt+^L-. (1.19.2)

Эти формулы применимы для описания как прямолинейного движения (в этом случае целесообразно ось X направить по прямой, вдоль которой движется точка), так и криволинейного движения. Важно лишь, чтобы ускорение было постоянным.

Двум уравнениям (1.19.2) соответствует одно векторное уравнение:

2 '

(1.19.3)

Обратите внимание на то, что при помощи уравнений (1.19.2) или (1.19.3) мы можем найти только положение движущейся точки в любой момент времени, но не пройденный точкой путь. При прямолинейном движении с постоянным ускорением воз-можно изменение направления скорости на противоположное (например, при движении брошенного вверх тела). В таком случае надо определить, в какой точке траектории произошло изменение направления скорости. Путь находится суммированием длин отрезков траектории, пройденных телом за указанное время.

В принципе формулы (1.17.2) и (1.19.3) позволяют решить любую задачу на движение точки с постоянным ускорением.