§2.14. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении задач на электрические колебания рекомендуется учесть следующее. В задачах на свободные колебания в контуре, кроме формулы для периода свободных электрических колебаний (2.3.2), можно применять закон сохранения энергии.

При решении задач на расчет цепей переменного тока следует иметь в виду, что амперметры и вольтметры в этих цепях показывают действующие значения силы тока (2.5.4) и действующие значения напряжения (2.5.5).

При последовательном соединении потребителей в цепях переменного тока действующие или амплитудные значения напряжений складываются методом векторной диаграммы. При параллельном соединении потребителей в цепях переменного тока векторно складываются амплитуды сил токов или их действующие значения. В этом случае тоже следует строить векторные диаграммы. При построении векторных диаграмм надо хорошо знать фазовые соотношения между колебаниями силы тока и напряжения в цепях переменного тока.

Мощность вычисляется по формуле (2.10.4). Явление резонанса в электрической цепи имеет место при условии (2.11.1).

Задача 1

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 6 • 10~3 Гн и конденсатора емкостью С = 15 мкФ. Максимальная разность потенциалов на конденсаторе Um = 200 В. Чему равна сила тока і в контуре, когда разность потенциалов на конденсаторе уменьшилась в п = 2 раза? Потерями энергии пренебречь.? Решение. Когда напряжение на обкладках конденсатора максимально, вся энергия контура сосредоточена в электриче-

си2т

ском поле конденсатора (см.

уменьшении напряжения на обкладках конденсатора до зна-

Um

чения — энергия контура распределяется между конденсатором и катушкой. Энергия электрического поля конденсатора

(и„

m

П

/ТТ \2

становится равной ^

, а энергия магнитного поля ка-

У

т 2

Li

тушки будет равна

Согласно закону сохранения энергии имеем:

CU2m _ cuj L* 2 2«2 2

Отсюда

gs b'-i),8t7Ai

п 4 L

Задача 2

Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный ток, изменяется с течением времени по закону

и = Um sin^ort + ^. В момент времени t = Y2 мгновенное значение напряжения и = 10 В. Определите амплитуду напряжения U' и циклическую частоту о), если период колебаний силы тока Т = 0,01 с. Начертите график зависимости изменения напряжения от времени.

Решение. Сначала найдем значение циклической частоты: <о= ^ =628 с"1.

Далее записываем выражение для мгновенного значения

* т

97

4 - 5654

напряжения в момент времени t = :

t, с

Рис. 2.33

тт • ( * ЯЛ тт • (2п т . КЛ тт .К 73гт

u = um am(art + gJ = um sin ' 12 + б] = ^ Sln3 = ~2 Um¦ Отсюда

С/ = ~ 12 В.

График изменения напряжения в зависимости от времени представлен на рисунке 2.33.

Задача 3

В цепь переменного тока стандартной частоты (v = 50 Гц) последовательно включены резистор сопротивлением R = 21 Ом, катушка индуктивностью L = 0,07 Гн и конденсатор емкостью С = 82 мкФ (см. рис. 2.20). Определите индуктивное, емкостное и полное сопротивления цепи, а также сдвиг фаз между силой тока и напряжением.

Решение. Индуктивное сопротивление находим по формуле (2.8.5):

XL = (i>L = 2twL = 22 Ом. Емкостное сопротивление вычисляется по формуле (2.7.4):

Хг = = тг-^ « 39 Ом. с соС 2kvC

Полное сопротивление согласно формуле (2.9.4) равно:

Ra + I coL - = 27 0м>

coscp=! = 0,7777...; Ф» 39°

К магистрали переменного тока с напряжением U = 120 В (U — действующее значение напряжения) через катушку (дроссель) с индуктивностью L = 0,05 Гн и активным сопротивлением R = 1 Ом подключена осветительная сеть квартиры (рис.

Решение. Дроссель и осветительная сеть квартиры подключены к магистрали последовательно, поэтому сила тока одинакова на всех участках цепи. Напряжение 17 г и напряжение

UR на активном сопротивлении дросселя совпадают по фазе с силой тока I. Напряжение UL на индуктивном сопротивлении дросселя опережает силу тока по фазе на л/2. Следовательно, векторная диаграмма для действующих значений напряжений и силы тока имеет вид, изображенный на рисунке 2.34, б.

- По теореме Пифагора

U2 = U2 + (UR + U у)2 = iWL2 + (IR + U у)2.

Отсюда

где со = 2ш. Так как действующее значение напряжения всегда положительно, то

и

R

а)

Рис. 2.34

б)

В цепи (рис. 2.35) параметры R, L и С известны. Напряже-ние между точками А и В равно U. Постройте векторную диаграмму сил токов в данной цепи и определите силу тока в не- разветвленном участке цепи. Найдите сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения. При каком условии сила тока в неразветвленном участке цепи окажется минимальной? Чему равен сдвиг фаз между силой тока и напряжением в этом случае?

Решение. В этой задаче рассматривается электрическая цепь, состоящая из двух ветвей, соединенных параллельно. Одна ветвь содержит резистор и катушку индуктивности, другая — конденсатор.

Построение векторной диаграммы начнем с вектора действующего значения напряжения U, поскольку напряжение

—»

одинаково для обеих ветвей цепи. Направим вектор U горизонтально вправо (рис. 2.36). Сила тока і является суммой сил токов ij и i2 (см. рис. 2.35). Колебания силы тока ^ отста

ют по фазе от колебаний напряжения на угол ф1 I tg ф1 =

так как верхний участок цепи содержит катушку индуктивности.

Поэтому вектор 11 повернут относительно вектора U на угол в отрицательную сторону (по часовой стрелке).

І

I

R

L

2

С

i Ч

"А

1

и совой стрелки). Его модуль I2 = (nCU. Действующее значение силы тока в неразветвленной части цепи находится с по-мощью векторной диаграммы (см. рис. 2.36):

1-І 1+4

Пользуясь теоремой косинусов, из векторной диаграммы оп-ределяем

I2 = I2 +I2 - 2/^2 cos а.

™ я

Так как а = ^ - , то cos а = sin и

1= Jl[ + - г/^звіпф!.

тг т U . со L

Учитывая, что і, = , — и sin ф. = — , оконча-

1 ^2—2-2 [Z2~Г 272

*JR + со L >JR + со L

тельно получим:

I_u R2(i>2C2 + (LCa - 1)\ (2.14.1)

\ Л2 + со V

Как видно из векторной диаграммы (см. рис. 2.36), вектор силы тока I образует с вектором напряжения U угол фс. Из ри-сунка находим

/1совф1 cos фс = j— .

R

Учитывая, что cos фх = , = , получим

Jr.2 + со 2ь2

cos Фc=-j= R • (2.14.2)

J(R2 + a2L2)[R2a2C2 + (LCa2 - l)2]

Из выражения (2.14.1) вытекает, что сила тока в нераз- ветвленном участке цепи минимальна, если LCco2 - 1 = 0, т. е.

если со = —р= . Но = со„ — это циклическая частота соб-

JLC JLC 0

ственных колебаний контура, входящего в состав данной це-пи. В этом случае говорят, что в цепи наступил резонанс токов.

При резонансе токов, как следует из формулы (2.14.2),

і A 12 J\

\

\

\

\

ч соСл/Д + to L При малом активном сопротивлении (R —> 0)

COS ф

1

согСЬ

Это значит, что при резонансе токов при малом активном сопротивлении сдвиг фаз между силой тока и напряжением равен Рис. 2.37 нулю (рис. 2.37). Важно обратить внима

ние на то, что при резонансе сила тока I в неразветвленной части цепи меньше силы тока І1 в ветви, содержащей последовательно соединенные резистор сопротив-лением R и катушку индуктивностью L, а также меньше силы тока І2 в ветви с конденсатором емкостью С.

Задача 6

В колебательный контур (см.

Решение. При резонансе амплитуда напряжения на конденсаторе, равная амплитуде напряжения на катушке UmL

Wmc ~ UmL), больше амплитуды напряжения на зажимах це-

XL

пи Uт в отношении -д-. Если пренебречь внутренним сопротивлением источника переменной ЭДС, то Um = J?m. Тогда

UmC 2;СУ01

R

Отсюда

UmC = —= 420 В-

УПРАЖНЕНИЕ 2

После зарядки конденсатора емкостью С от источника постоянного напряжения U переключатель замыкают на катушку индуктивностью (см. рис. 2.5, б). В контуре возникают гармонические колебания с амплитудой силы тока 1т1. Опыт повторяют по прежней схеме, заменив катушку на другую индуктивностью Ь2 = 2Lv Найдите амплитуду силы тока 1т2 во втором случае.

Колебательный контур состоит из дросселя индуктивностью L = 0,2 Гн и конденсатора емкостью С = Ю-5 Ф. Конденсатор зарядили до напряжения U = 20 В. Чему равна сила тока при разрядке конденсатора в момент, когда энергия контура оказывается распределенной поровну между электрическим и магнитным полями?

Определите частоту собственных колебаний в контуре, состоящем из соленоида длиной I = 15 см, площадью поперечного сечения = 1 см2 и плоского конденсатора с площадью пластин S2 = 6 см2 и расстоянием между ними d = 0,1 см. Число витков соленоида N = 1000.

Электрический контур состоит из конденсатора постоянной емкости и катушки, в которую может вдвигаться сердечник. Один сердечник спрессован из порошка магнитного соединения железа (феррита) и является изолятором. Другой сердечник изготовлен из меди. Как изменится частота собственных колебаний контура, если в катушку вдвинуть: а) медный сердечник; б) сердечник из феррита?

Мембрана

Рис. 2.38

Для чего в телефонной трубке нужен постоянный магнит (рис.

На вертикально отклоняющие пластины осциллографа подано напряжение и1 = Uml cos cof, а на горизонтально отклоняющие — напряжение и2 = Um2 cos (соt - ф). Какую тра- екторию опишет электронный луч на экране осциллографа, если разность фаз между напряжениями на пластинах равна: а) фх = |; б) ф2 = л?

Кипятильник работает от сети переменного тока с напряжением U = 120 В . При температуре t1 = 20 °С спираль имеет сопротивление = 25 Ом. Температурный коэффициент сопротивления материала спирали а = 2 • Ю-2 К-1. Определите массу воды, после закипания превратившейся в пар за время т = 1 мин. Удельная теплота парообразования воды г = 2,26 • 106 Дж/кг.

При включении катушки в сеть переменного тока с напряжением 120 В и частотой 50 Гц сила тока в ней равна 4 А. При включении той же катушки в сеть постоянного тока с напряжением 50 В сила тока в катушке оказывается равной 5 А. Определите индуктивность катушки.

Определите сдвиг фаз между силой тока и напряжением в электрической цепи, если генератор отдает в цепь мощность Р = 8 кВт, амплитуда силы тока в цепи / = 100 А и амплитуда напряжения на зажимах генератора U = 200 В.

В сеть стандартной частоты с напряжением 100 В последовательно включены резистор сопротивлением 150 Ом и конденсатор емкостью 16 мкФ. Найдите полное сопротивление цепи, силу тока в ней, напряжения на зажимах ре-зистора и конденсатора и сдвиг фаз между силой тока и напряжением.

И.Каковы показания приборов в цепях, представленных схемами на рисунке 2.39, а, 64 Напряжение сети U = 250 В, R = 120 Ом, С = 20 мкФ. Постройте для обеих схем векторные диаграммы.

12.В сеть переменного тока стандартной частоты с напряжением 210 В включены последовательно резистор сопротивлением 40 Ом и катушка индуктивностью 0,2 Гн. Определите силу тока в цепи и сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Конденсатор какой емкости надо включить по-следовательно в цепь, чтобы сдвиг фаз оказался равным нулю? Какой будет сила тока в цепи в этом случае? -50 Гц

-50 Гц

R

¦ч:

J L a)

a) -50 Гц

-50 Гц

Рис. 2.40

L

R

б)

Рис. 2.39

Каковьі показания приборов в цепях, схемы которых изображены на рисунке 2.40, а, б? Напряжение сети U = 119 В, активное сопротивление В = 8 Ом, индуктивность L = 0,048 Гн. Постройте для схемы, изображенной на рисунке 2.40, б, векторную диаграмму.

Найдите показания приборов в цепи, схема которой пред-ставлена на рисунке 2.41. Напряжение на зажимах цепи U = 216 В, R = 21 Ом, L = 70 мГн, С = 82 мкФ. Частота стандартная. Постройте векторную диаграмму сил токов.

15.Электродвигатель мощностью Р = 10 кВт присоединен к сети с напряжением U = 240 В, cos ф1 = 0,6, частота v = 50 Гц.

Вычислите емкость конденсатора, который нужно подключить параллельно двигателю для того, чтобы коэффициент мощности установки повысить до значения cos ф2 = 0,9.

Рис. 2.41

Рис. 2.42

і, j.

Рис. 2.43

16.В цепи, схема которой изображена на рисунке 2.42, R — 56 Ом, С = 106 мкФ и L = 159 мГн. Активное сопротивление катушки мало. Частота тока в сети v = 50 Гц. Опреде- лите напряжение в сети U, если амперметр показывает 2,4 А. Постройте векторную диаграмму.

В катушке индуктивности сила тока линейно увеличивается со скоростью ~ = 10 А/с. Найдите ЭДС индукции, возникающую при этом в катушке, если резонансная частота колебательного контура с этой катушкой и конденсатором емкостью С = 100 пФ равна v = 100 кГц.

Рис. 2.44

Резонанс в колебательном контуре с конденсатором емкостью Сг = = 1 мкФ наступает при частоте

= 400 Гц. Когда параллельно конденсатору С1 подключают дру-гой конденсатор емкостью С2, то резонансная частота становится равной v2 = 100 Гц. Определите емкость С2. Активным сопротивлением контура пренебречь.

На рисунке 2.43 изображены два соленоида, каждый из которых может быть использован в ламповом

генераторе в качестве катушки обратной связи. В один и тот же момент в обеих катушках ток течет сверху вниз. Однако при включении одной катушки генератор работает, а при включении другой — нет. Почему?

Конец пружины опущен в ванночку со ртутью (рис. 2.44). Что произойдет, если замкнуть ключ и пропустить через пружину достаточно сильный ток?